Artin-Rees の補題 - yoshitake-hのブログ

$A$ を Noether 環， $I$ をそのイデアルとし， $M$ を有限 $A$ 加群， $N$ をその部分加群とする．
このとき，自然数 $n$ が存在して，任意の自然数 $k$ に対し，
$I^{n+k}M\cap N=I^k(I^nM\cap N).$

証明

$I$ は有限生成 $A$ 加群．
よって $B=A\oplus I \oplus I^2\oplus \cdots$ は有限生成　 $A$ 代数．よって Hilbert の基底定理より，Noether 環．
$M\oplus IM \oplus I^2M \oplus \cdots$ は有限生成　 $B$ 加群．
よってその部分加群

$N\oplus (IM\cap N)\oplus (I^2M\cap N)\oplus \cdots$ も有限生成．
このことから結論が従う．//

Artin-Rees の補題より，Noether 局所環の Krull 次元の有限性が導かれる．