Krull 環の局所化は Krull 環． 正規 Noether 整域は Krull 環． Krull 環上の多項式環，形式的べき級数環は Krull 環． 体でない整域に対し，Dedekind 環 ⇔ 1 次元 Krull 環． 定理 11.6 では体も Dedekind 環に入れているが，定理 12.5 ではそうなっていな…

DVR ⇔ Noether 付値環 ⇔ 1 次元正規 Noether 局所環． 1 次元正規 Noether 局所環 ⇒ DVRを示すのに，Artin-Rees の補題の系である Krull の共通部分定理を用いる． 正規 Noether 整域 R に対し，高さ 1 の素イデアルに関する局所化は DVR であり，それらすべ…

付値環は局所環． 付値環は整閉． 付値環の有限生成イデアルは単項．