松村「可換環論」§11. DVR，Dedekind 環

• DVR  ⇔  Noether 付値環  ⇔  1 次元正規 Noether 局所環．
  • 1 次元正規 Noether 局所環  ⇒  DVR
    を示すのに，Artin-Rees の補題の系である Krull の共通部分定理を用いる．

• 正規 Noether 整域 R に対し，高さ 1 の素イデアルに関する局所化は DVR であり，それらすべての共通部分は R に一致する．
  • この定理が Atiyah-Macdonald にないことが不思議，と Reid の教科書に書かれている．

• DVR の重要性は，幾何学的には空間を曲線で probe することの重要性を示唆する．
  • 森理論，Gromov-Witten 理論，剛代数幾何に通ずる．

• 体でない整域に対し，
  Dedekind 環
   ⇔  1 次元正規 Noether 環
   ⇔  任意の 0 でないイデアルが有限個の素イデアルの積で書ける．
  （表示は順序を除いて一意．）
  • この定理がイデアルの概念の有効性を認めさせた．