松村「可換環論」§17. Cohen-Macaulay 環

• Noether 局所環 上の有限加群 に対し，

  

• 深さが次元に等しい Noether 局所環を Cohen-Macaulay 環という．

• Noether 環に対し，純性定理は CM 環であるための必要十分条件．

• CM 環上の多項式環は CM 環．

• 正則局所環は CM 環．

• CM 環の準同型像は強鎖状．

• Noether 局所環 に対し，　が 上の多項式環と次数つき 代数として同型であることは， が正則であるための必要十分条件．
  • 定理 17.10 で定理 14.4 に言及していないのはなぜだろうか？

• Noether 局所環 の巴系イデアル に対し，
  • 任意の［ある］巴系イデアル に対し等号が成立することは， が CM 環であるための必要十分条件．

• 0 次元 Noether 環（＝ Artin 環）は CM 環．
  • 1 次元 Noether 環はべき零元をもたなければ CM 環．
  • 2 次元 Noether 環は正規ならば CM 環．

• CM 環という条件は Serre duality に関係する．

• 誤植
  • p.167　定理 14.9　→　定理 14.10