Hilbert の基底定理 - yoshitake-hのブログ

Noether 環 $A$ に対し， $A[x]$ も Noether 環．

証明

$J$ を $A[x]$ のイデアルとする．
$J$ に属する多項式の最高次の係数で生成される $A$ のイデアルの生成元を $a_1,\,\dots,\,a_n$ とする．
それぞれを最高次の係数とする $J$ に属する多項式を $f_1,\,\dots,\,f_n$ とし，これらで生成される $A[x]$ のイデアルを $J'$ とする．
$f_1,\,\dots,\,f_n$ の次数の最大値を $k$ とする．
$M=A+Ax+\cdots +Ax^{k-1}\subset A[x]$ とする．
$J\cap M$ は有限生成 $A$ 加群．
よって $J=J'+(J\cap M)$ は有限生成 $B$ 加群．//