松村「可換環論」§ 20. UFD

• Noether 整域であって，高さ 1 の素イデアルがすべて単項ならば，UFD．
  • UFD の高さ 1 の素イデアルは単項．

• Noether 整域であって，ある素元の集合による局所化が UFD ならば，UFD．

• (Auslander-Buchsbaum) 正則局所環は UFD．

• UFD の射影的イデアルは単項．

• UFD は Krull 環．
  • UFD　⇔　因子類群が自明．

• 局所環の Picard 群は自明．

• (Gauss) UFD 上の多項式環は UFD．
  • Krull 環とその上の多項式環は，同型な因子類群をもつ．

• 正則な　UFD 上の形式的べき級数環は，正則な UFD．
  • 正則環の場合，因子類群と Picard 群は一致する．
  • 正則環とその上の形式的べき級数環は，同型な因子類群をもつ．