yoshitake-hのブログ

正則性公理と基礎の公理

math

正則性公理：任意の空でない集合 $x$ に対し， $a\in x$ が存在して， $a$ の任意の元は $x$ に属さない．
基礎の公理：集合の列 $x_0,\,x_1,\,x_2,\,\dots$ で， $x_n\ni x_{n+1}$ をみたすものは存在しない．

正則性公理がなりたたないとする．このとき，空でない集合 $x_0$ が存在して，任意の $y\in x_0$ に対し， $x_0\cap y\ne\varnothing.$
よって選択公理を仮定すると， $x_0$ の元の列 $x_1,\,x_2,\,\dots$ が存在して， $x_n\ni x_{n+1}.$

基礎の公理がなりたたないとする．このとき，集合の列 $x_0,\,x_1,\,x_2,\,\dots$ が存在して， $x_n\ni x_{n+1}.$
$x=\{x_0,\,x_1,\,\dots\}$ とおくと，無限公理と置換公理より，これは集合であって， $x_{n+1}\in x\cap x_n.$