Zermelo-Fraenkel (ZF) の公理系 - yoshitake-hのブログ

「任意の集合 $x$ に対し， $x\in a\;\Rightarrow\;x\in b$ 」であることを， $a\subset b$ で表す．

外延性の公理．集合 $a,\,b$ に対し， $a\subset b,\, b\subset a$ ならば， $a=b.$

集合 $a$ に対し， $x\in a$ が $P(x)$ と同値であるとき，
$a=\{x\mid P(x)\}$
と表す．

どんな述語 $P(x)$ に対しても $\{x\mid P(x)\}$ という集合がある，というわけではない．

空集合の公理．集合 $\varnothing$ が存在して，任意の集合 $x$ に対し， $x \not\in \varnothing$

外延性の公理より，空集合の一意性が従う．

対の公理．集合 $a,\,b$ に対し，集合
$\{a,\, b\} = \{x\mid x=a\quad \mbox{or}\quad x=b\}$
が存在する．

和の公理．集合 $a$ に対し，集合
$\bigcup a = \{ x\mid \exists y,\, x\in y\in a\}$
が存在する．

$a\cup b=\bigcup \{a,\,b\}$ とおく．

無限公理．集合 $a$ が存在して，

$\varnothing\in a$

$x\in a\;\Rightarrow\;x\cup\{x\}\in a$

べき集合の公理．集合 $a$ に対し，集合 $\{x\mid x\subset a\}$ が存在する．

置換公理図式． $(P(x,\,y)\wedge P(x,\,z) )\;\Rightarrow\; y=z$ とすると，任意の集合 $a$ に対し，集合 $\{y\mid \exists x,\;(x\in a)\wedge P(x,\,y)\}$ が存在する．

定理． 任意の集合 $a$ に対し， $\{x\mid (x\in a)\wedge P(x)\}$ が存在する．

集合 $a,\,b$ に対し， $a\cap b=\{x\mid (x\in a)\wedge (x\in b)\}$ と書く．

正則性公理 (基礎の公理)．任意の空でない集合 $a$ に対し， $b\in a$ が存在して， $x\in a,\, x\in b$ となる $x$ は存在しない．

定理． 列 $x_1\ni x_2\ni x_3\ni \cdots$ は存在しない．

証明． $a=\{x_1,\, x_2,\,x_3,\,\dots\}$ とすると正則性公理に反する．qed 　