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Weston による Zorn の補題の短い証明

math

http://www.springerlink.com/content/h757506v44002719/

Zorn の補題：任意の鎖（全順序部分集合）が上界をもつような順序集合は極大元をもつ．

順序集合 $P$ の部分集合 $C$ に対し，
$C^\wedge = \{ x\in P\mid \forall y\in C;\;y<x\}$
とおく．

Zorn の補題はとなる鎖の存在よりしたがう．
- $C$ の上界より真に大きい元があればそれは $C^\wedge$ の元になって矛盾するので， $C$ の上界は $P$ の極大元でなければならない．

選択公理より， $P$ の空でない部分集合にその元を対応させる写像 f が存在する．

$P$ の鎖 $K$ が f 鎖 であるとは，任意の $C\subset K$ に対し， $C^\wedge \cap K\ne \varnothing$ ならば， $f( C^\wedge )$ がその最小元であることと定義する．

以下，すべての f 鎖の和集合 $L$ が鎖であって $L^\wedge = \varnothing$ をみたすことを示す．

Claim 1. f 鎖とに対し，ならば
- Proof. 仮定より， $C^\wedge \cap K=\varnothing.$
  よって任意の $x\in K$ に対し $y\in C$ が存在して $x\le y.\quad \therefore\; C^\wedge \subset K^\wedge .//$

Claim 2. f 鎖に対し，　
- Proof. $a'\in K'\smallsetminus K$ に対し， $C= \{x\in K'\mid x<a'\} \cap K$ とおくと，
  $C= \{x\in K'\mid x\le a'\} \cap K.$
  $a' \in C^\wedge \cap K'$ より， $f( C^\wedge )\in \{x\in K'\mid x\le a'\}.$
  $f( C^\wedge ) \not\in C$ より $f( C^\wedge ) \not\in K.$
  よって Claim 1 より $C^\wedge \subset K^\wedge .\quad \therefore \; a'\in K^\wedge . //$

Claim 2 より， $L$ は鎖．

$C\subset L,\; x\in C^\wedge \cap L$ ならば，f 鎖 $K$ があって $x\in C^\wedge \cap K.$
よって Claim 2 より， $C\subset K.$
よって $f( C^\wedge )\in K\subset L,\; f( C^\wedge )\le x.$
したがって $L$ は f 鎖．

$L^\wedge \ne \varnothing$ とすると $L\cup \{ f( L^\wedge )\}$ が f 鎖になり， $L$ の定義に矛盾．よって $L^\wedge = \varnothing .$ 　証明終

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20111202#p7
http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20070622