連接D加群の局所自由性 - yoshitake-hのブログ

$\mathcal{O}_{X,\,p} \simeq \mathbb{C} [ [x_1,\,\dots,\,x_n] ],\quad \mathfrak{m}_p =(x_1,\,\dots,\,x_n)$ とする．
中山の補題より，連接D加群 $\mathcal{M}$ に対し，生成元 $s_1,\,\dots,\,s_m\in \mathcal{M}_p$ が存在して，
$[s_1],\,\dots,\,[s_m] \in \mathcal{M}_p /\mathfrak{m}_p\mathcal{M}_p$ は基底．
$\partial_as_i = \sum_{j=1}^m g_{aij}s_j,\quad g_{aij}\in \mathcal{O}_{X,\,p}$
とおく．非自明な関係式
$\sum_{i=1}^m f_is_i=0,\quad f_i\in {\mathfrak{m}_p}^k$
が存在するとすると，
$\sum_{i=1}^m ( (\partial_af_i)s_i+f_i( \partial_as_i ) )=0.$
$\sum_{j=1}^m ( \partial_af_j + \sum_{i=1}^m f_ig_{aij} )s_j =0, \quad \partial_af_j + \sum_{i=1}^m f_ig_{aij}\in {\mathfrak{m}_p}^{k-1}.$
これはある a に対し，非自明な関係式．
帰納法により， $[s_1],\,\dots,\,[s_m]$ の間の非自明な線型関係式を得られるので仮定に矛盾．
したがって， $\mathcal{M}_p$ は自由 $\mathcal{O}_{X,\,p}$ 加群．
http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20110228