素数次対称群の部分群の単純性

$p$ を素数， $G$ を $p$ 次対称群 $S_p$ の部分群とする．
$G$ は $\{1,\,2,\,\dots,\,p\}$ に推移的に作用するとする．これは $G$ の位数 $n$ が $p$ で割り切れることに同値である．

定理 (R. J. Chapman, Amer. Math. Monthly, 1995)
$n=pmr,\;$ $r$ は $p$ より小さい素数， $m>1,\;m\equiv 1\,\mathrm{mod}\, p$ ならば， $G$ は単純群．

応用として，以下の群が単純であることがわかる．

5次交代群 $A_5,\;n=5\cdot 6\cdot 2.$
$\mathrm{Aut}\,S_2(2,\,5,\,11)\simeq PSL(2,\,11),\;n=11\cdot 12\cdot 5.$
Mathieu 群 $M_{11}=\mathrm{Aut}\,S(4,\,5,\,11)=\mathrm{Aut}\,S_2(3,\,6,\,12),\;n=11\cdot 144\cdot 5.$
Mathieu 群 $M_{23}=\mathrm{Aut}\,S(4,\,7,\,23),\;n=23\cdot 40320\cdot 11.$

証明
$G$ の Sylow $p$ 部分群 $P$ は $p$ 次巡回群．
$r_G=|N_G(P)/P|,\;m_G=|G/N_G(P)|$ とおくと， $n=pm_Gr_G.$
$m_G$ は $G$ の Sylow $p$ 部分群の個数に等しいので， $m_G\equiv 1\,\mathrm{mod}\,p.$
$N_{S_p}(P)$ は，有限体 $F_p$ 上の1次アフィン変換群なので，位数は $p(p-1).$
よって $r_G$ は $p-1$ の約数．特に [tex:r_G補題 $m_G>1$ ならば $r_G>1.$
証明 $r_G=1$ とせよ． $G$ の位数 $p$ の元は $m_G(p-1)=n-m_G$ 個．
よって， $G$ の元で $\{1,\,2,\,\dots,\,p\}$ に固定点をもつものは，たかだか $m_G$ 個．
一方， $j\in\{1,\,2,\,\dots,\,p\}$ の stabilizer $G_j$ の位数は $m_G.$
$G_j$ の元は $\{1,\,2,\,\dots,\,p\}$ に固定点をもつ．
よって $G_1=\cdots=G_p$ でなければならないが，これは $G_j$ が自明であることを意味する．よって $m_G=1.$ //

$n/p$ を $p$ で割った余りを $r$ とすると， $r=r_G.\;$ 特に $r$ は $n/p$ の約数でなければならない．
定理の仮定のもと， $r=r_G,\;m=m_G.$

$H$ を $G$ の自明でない正規部分群とする．
$G$ は $\{1,\,2,\,\dots,\,p\}$ 上の $H$ -orbit 全体の集合に推移的に作用する．
ゆえに $H$ -orbit の点の個数はすべて等しく， $H$ は自明でないので $p$ に等しい．
したがって， $H$ も　 $\{1,\,2,\,\dots,\,p\}$ に推移的に作用する．
よって $H$ の Sylow $p$ 部分群は $G$ の Sylow $p$ 部分群になる．
$G$ の Sylow $p$ 部分群はすべて共役であり， $H$ は正規部分群なので，これらはすべて $H$ にふくまれる．
よって $m_H=m_G>1,\;r_H|r_G.$
したがって補題より $r_H>1.$ $r=r_G$ は素数なので， $r_H=r_G.\;$ よって $H=G.$ （証明終）