長方形の Cauchy 積分定理 - yoshitake-hのブログ

定理　長方形 $R\subset \mathbb{C}$ の開近傍上の正則関数 $f$ に対し，
$\int_{\partial R}f(z)\mathrm{d}z=0.$

Ahlfors の本に Goursat によるという証明がのっているが，少し変えて，次の補題を用いた方がすっきりするように思う．

補題　コンパクト集合 $K\subset \mathbb{C}$ の開近傍上の正則関数 $f$ と $\varepsilon >0$ に対し， $\delta >0$ が存在して，
$z_0,\,z_1\in K,\,0<|z_1-z_0|<\delta \;\Rightarrow \;\left|\frac{f(z_1)-f(z_0)}{z_1-z_0}-f'(z_0)\right| <\varepsilon.$

定理の証明は， $K=R$ の場合に補題を適用する．
$R$ の縦横それぞれを $n$ 等分してできた長方形を $R_j\;(j=1,\,\dots,\,n^2)$ とし，対角線の長さ $d(R_j)$ が $\delta$ より小さくなるように $n$ をとる．
$f(z)=1,\,z$ の場合に定理が成立することに注意すると，
$\left| \int_{\partial R_j}f(z)\mathrm{d}z\right| = \left| \int_{\partial R_j} (f(z)-f(z_j)-f'(z_j)(z-z_j))\mathrm{d}z\right| \leq \int_{\partial R_j} \varepsilon |z-z_j||\mathrm{d}z|$
$\leq \varepsilon \cdot d(R_j)|\partial R_j| = \frac{\varepsilon}{n^2}d(R)|\partial R|\quad (z_j\in R).$
したがって，
$\left| \int_{\partial R}f(z)\mathrm{d}z\right| = \left| \sum_{j=1}^{n^2}\int_{\partial R_j}f(z)\mathrm{d}z\right| \leq \varepsilon \cdot d(R)|\partial R|.$
$\varepsilon >0$ は任意なので結論がしたがう．//