関数論続論 - yoshitake-hのブログ

回転数．Cauchy の積分定理・積分公式．除去可能特異点定理．証明の最後の方で防災訓練のサイレンが鳴る．あとちょっとだったが，ここで中断した方が防災訓練らしくてよかろう，と思ってやめた．
長方形の向かい合う頂点の間の2つの線積分は，長方形の Cauchy 積分定理により一致する．これによってえられる正則関数の不定積分が正則になることを示すのに，「偏微分可能かつ偏導関数が連続であるならば，全微分可能」という定理を用いる．

定理　関数 $f(x,\,y)$ に対し， $f_x(x_0,\,y_0)$ が存在し， $(x_0,\,y_0)$ の近傍で　 $f_y$ が存在して連続ならば， $f$ は $(x_0,\,y_0)$ で全微分可能．

証明
$\begin{align*}& f(x_0+\Delta x,\,y_0+\Delta y)-f(x_0,\,y_0)-f_x(x_0,\,y_0)\Delta x-f_y(x_0,\,y_0)\Delta y\\ &= (f(x_0+\Delta x,\,y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x,\,y_0)-f_y(x_0,\,y_0)\Delta y)+(f(x_0+\Delta x,\,y_0)-f(x_0,\,y_0)-f_x(x_0,\,y_0)\Delta x)\\ &= (f_y(x_0+\Delta x,\,y_0+\theta \Delta y)-f_y(x_0,\,y_0))\Delta y+(f(x_0+\Delta x,\,y_0)-f(x_0,\,y_0)-f_x(x_0,\,y_0)\Delta x)\quad (0<\theta <1)\end{align*}$
より．//