Bernstein の定理 - yoshitake-hのブログ

定理
$f:X\to Y,\;g:Y\to X$ がいずれも単射であるとき，全単射 $h:X\to Y$ で，
$y=h(x)\; \Rightarrow \; (y=f(x)\;\mbox{or}\;g(y)=x)$
をみたすものが存在する．

証明
X 上の点 $x_0$ を， $g(y)=x_0$ となる Y 上の点 y が存在しないものとする．
これに対し，点の列 $x_0,\,y_0,\,x_1,\,y_1,\,x_2,\,y_2,\,\dots$ を，
$f(x_n)=y_n,\;g(y_n)=x_{n+1}$ によって定める．

この列に現れるような，X 上の点全体の集合を X' とし，Y 上の点全体の集合を Y' とする．
この列に現れないような， X 上の点全体の集合を X'' とし，Y 上の点全体の集合を Y'' とする．

f は X' から Y' への全射を与える．
f は単射なので， $f:X'\to Y'$ は全単射である．

Y'' 上の任意の点 y に対し， $g(y)\ne x_0$ である．
また，g は単射なので， $g(y)\ne x_n\;(n\ge 1)$ である．
したがって，g は Y'' から X'' への写像を与える．これは単射である．
これがさらに全射であることを言えばよい．

X'' 上の任意の点 x に対し， $x\ne x_0$ なので，Y 上の点 y が存在して $g(y)=x$ となる．
このとき $x\ne x_n\;(n\ge 1)$ より，y は Y '' 上の点である．よって $g:Y''\to X''$ は全射である．//