関数論 - yoshitake-hのブログ

留数．

関数論まとめ

複素変数 $z$ の複素数値関数 $f(z)$ が正則であるとは，
$f'(z)=\lim_{w\to z}\frac{f(w)-f(z)}{w-z}$
が存在することである．

正則関数 $f(z)$ に対し，Cauchy-Riemann 方程式
$\frac{\partial}{\partial x} f(x+iy) = \frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial y} f(x+iy)$
がなりたつ．

逆に $f(x+iy)$ が C¹ 級かつ Cauchy-Riemann 方程式をみたすならば， $f(z)$ は正則関数である．

$z=x+iy$ に対し， $\mathrm{e}^z = \mathrm{e}^x (\cos y+i\sin y)$ とおくと，C¹ 級かつ Cauchy-Riemann 方程式をみたすので，これは正則関数．

$\mathrm{e}^{z+w}=\mathrm{e}^z\mathrm{e}^w,\quad \mathrm{e}^{z+2\pi i}=\mathrm{e}^z.$

正則関数 $w=\mathrm{e}^z$ は，
$\{ z=x+iy\mid -\pi <y<\pi \}$ から
$\{ w=u+iv\mid w\not\in (-\infty,\,0] \}$ への1対1対応をあたえる．
逆写像を $z=\log w$ とおく．

$\log z\; (z\not\in (-\infty,\,0])$ は正則関数で，
$(\log z)'=\frac{1}{z}.$

Gauss 平面上の有向曲線 $C:z(t),\; t:a\to b$ 上の複素数値関数 $f(z)$ の 線積分 を，
$\int_Cf(z)\mathrm{d}z = \int_a^b f(z(t) )\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$
によって定義する．これは有向曲線のパラメータづけの選び方によらない．

複素数 $z_0,\; z_1$ をそれぞれ始点，終点とする有向曲線 $C$ および正則関数 $F(z)$ に対し，
$\int_C F'(z)\,\mathrm{d}z = F(z_1)-F(z_0).$

反時計まわりの有向閉曲線 $C:|z-z_0|=r$ と整数 $n$ に対し，
$\int_C (z-z_0)^n\mathrm{d}z = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & n\ne -1 \\ 2\pi i & n=-1 \end{array} \right.$

Cauchy の積分定理
有向閉曲線 $C$ とこれを含む単連結な開集合上の正則関数 $f(z)$ に対し，
$\int_C f(z)\mathrm{d}z=0.$

Cauchy の積分公式
複素数 $z_0$ のまわりを反時計まわりに1周する有向閉曲線 $C$ とこれを含む単連結な開集合上の正則関数 $f(z)$ に対し，
$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z.$

微分と積分の順序交換がなりたって，
$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{ (z-z_0)^{n+1} }\mathrm{d}z.$

べき級数展開
$\frac{1}{\zeta -z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{ (z-z_0)^n }{(\zeta -z_0)^{n+1} },\quad |z-z_0|<|\zeta -z_0|$
に対し，項別積分がなりたって，
$f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(\zeta)}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta = \sum_{n=0}^\infty (z-z_0)^n \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(\zeta)}{ (\zeta -z_0)^{n+1} }\mathrm{d}\zeta .$

$f(z)$ を $0<|z-z_0|<r$ 上の正則関数とすると，Laurent 展開
$f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-z_0)^n$
がなりたつ．

$0<|z-z_0|<r$ 上の $z_0$ のまわりを反時計まわりに1周する有向閉曲線 $C$ に対し，項別積分がなりたって，
$\frac{1}{2\pi i}\int_C f(z)\mathrm{d}z=a_{-1}.$
この値を $z=z_0$ における $f(z)$ の留数といい， $\mathrm{Res}[f(z),\,z_0]$ と書く．

正整数 $k$ に対し，
$f(z) = \sum_{n=-k}^\infty a_n(z-z_0)^n,\quad a_{-k}\ne 0$
がなりたつとき， $z=z_0$ を $f(z)$ の $k$ 位の極 という．このとき，
$\mathrm{Res}[f(z),\,z_0] = \lim_{z\to z_0} \frac{1}{(k-1)!}\, \frac{\mathrm{d}^{k-1}}{\mathrm{d}z^{k-1}}( (z-z_0)^kf(z) ).$

留数定理
反時計まわりの有向単純閉曲線 $C$ を境界とする閉集合とその内部を $D,\, D^\circ$ とする．
$D$ を含む開集合から $z_1,\,\dots,\,z_n\in D^\circ$ を除いたところで正則な関数 $f(z)$ に対し，
$\frac{1}{2\pi i}\int_C f(z)\mathrm{d}z = \sum_{k=1}^n \mathrm{Res}[f(z),\,z_k].$ .