Jacobi の三重積等式 - yoshitake-hのブログ

$\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}z^n =\prod_{m=1}^\infty (1-q^{2m}) (1+q^{2m-1}z) (1+q^{2m-1}z^{-1}).$
右辺を展開したときの $q^k$ の項は有限和であることに注意．

証明
奇数からなる集合で，正の奇数を有限個だけふくみ，負の奇数を有限個をのぞいてすべてふくむものを state とよぶことにする．
state $x$ に属する正の奇数の集合を $x^+$ とし， $x$ に属さない負の奇数の集合を $x^-$ とする．
$|x^+|-|x^-|=n$ となる state $x$ 全体の集合を $X_n$ とおくと，
$\prod_{m=1}^\infty (1+q^{2m-1}z) (1+q^{2m-1}z^{-1}) =\sum_{n=-\infty}^\infty \sum_{x\in X_n}q^{E(x)} z^n,\quad E(x) =\sum_{k\in x^+ \cup x^-} |k|.$

$2n-1$ 以下の奇数全体の集合を $|0\rangle_n$ とおく．これは $X_n$ の元の中で $E$ が最小のもので，
$E(|0\rangle_n)=1+3+5+\cdots +(2|n|-1) =n^2.$

state $x$ に属する奇数のうち，大きい方から $m$ 個めまでにそれぞれ $2$ を加えて得られる state を $a_m(x)$ とすると，
$E(a_m(x))=E(x)+2m.$

$X_n$ の任意の元は，
${a_1}^{j(1)} {a_2}^{j(2)}\cdots {a_m}^{j(m)} |0\rangle_n\qquad (j(i)\geq 0)$
と一意的に書ける．したがって，
$\sum_{x\in X_n}q^{E(x)} =q^{n^2}\prod_{m=1}^\infty (1-q^{2m})^{-1}.\qquad \square$