定義 0"> とする． 正の実数に値をとる確率変数 で， であるものを 指数分布 という． 非負整数に値をとる確率変数 で， であるものを Poisson 分布 という． 定理 確率変数の列 を，たがいに独立な平均 の指数分布の列とすると， 証明

平均0，分散1の確率変数 のモーメント母関数は， 確率変数 は互いに独立で，平均0，分散1の同一の分布に従うとする． 確率変数 のモーメント母関数は， のとき， すなわち，標準正規分布のモーメント母関数に収束する．

確率空間 0"> に対し，確率変数 を， で定義する． 確率変数 を，互いに独立で， と同じ分布に従うものとし， とおく． さらに， とおく． とおくと， 分散共分散行列 は， と書けるので， をみたし， に対し， したがって，中心極限定理より， のとき， は …

確率変数 を独立な標準正規分布とする． とおく． とおくと， 実数 に対し，分布関数が である確率変数を， 自由度 の χ2分布 という． 平均は， を標準正規分布， を自由度 の χ2分布とし，これらは独立であるとする． これに対し， とおく． そこで とおく…

をONBとする実ヒルベルト空間 にガウス測度が与えられているとする． 確率変数 はたがいに独立な標準正規分布である． 大数の強法則より， ゆえに 一方， 矛盾．

に対し，二項分布 の平均は ，分散は とおく． を固定すると， のとき， となるような関数 を求める．