χ2分布・t分布・F分布 - yoshitake-hのブログ

確率変数 $Z_1,\,\dots,\,Z_n$ を独立な標準正規分布とする．

$X=(Z_1)^2+\cdots +(Z_n)^2$ とおく．

$x=r^2=(z_1+\cdots+z_n)^2$ とおくと，
$P(X\le a) =(2\pi)^{-n/2}\int_{r^2\le a}dz_1\cdots dz_n\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}2r^2}$
$=C\int_0^{\sqrt{a} } \mathrm{e}^{-\frac{1}2r^2}r^{n-1}\,dr$
$=\frac{C}2\int_0^a\mathrm{e}^{-\frac{1}2x}x^{\frac{n}2-1}\,dx.$

実数 $\nu$ に対し，分布関数が $C\,\mathrm{e}^{-\frac{1}2x}x^{\frac{\nu}2-1}$ である確率変数を，自由度 $\nu$ の χ²分布 という．
$C^{-1}=2^{\frac{\nu}2}\Gamma(\frac{\nu}2).$
平均は，
$C\int_0^\infty \mathrm{e}^{-\frac{1}2x}x^{\frac{\nu}2-1}x\,dx =\frac{2^{\frac{\nu}2+1}\Gamma(\frac{\nu}2+1)}{ 2^{\frac{\nu}2}\Gamma(\frac{\nu}2)}=\nu.$

$Z$ を標準正規分布， $X$ を自由度 $\nu$ の χ²分布とし，これらは独立であるとする．

これに対し，
$T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{1}{\nu} X} }$
とおく．

そこで
$z=t\sqrt{\frac{x}{\nu} }$
とおくと，
$dzdx= \sqrt{\frac{x}{\nu} } \,dtdx$
より，
$P(T\le a) =C\int_0^adt\int_0^\infty dx\cdot \sqrt{\frac{x}{\nu} } \,\mathrm{e}^{-\frac{1}2t^2\frac{x}{\nu} }\mathrm{e}^{-\frac{1}2x}x^{\frac{\nu}2-1}$
$=\frac{C}{\sqrt{\nu}}\int_0^adt\int_0^\infty dx\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}2(1+\frac{t^2}{\nu})x}x^{\frac{\nu+1}2-1}$
$=C'\int_0^a(1+\frac{t^2}{\nu})^{-\frac{\nu+1}2}\,dt.$

$X_1,\,X_2$ を自由度 $\nu_1,\,\nu_2$ の χ²分布とし，これらは独立であるとする．

これに対し，
$F=\frac{X_1/\nu_1}{X_2/\nu_2}$ 　
とおく．

そこで，
$f=\frac{x_1/\nu_1}{x_2/\nu_2}$
とおくと，
$dx_1dx_2= \frac{\nu_1}{\nu_2}x_2\,dfdx_2$
より，
$P(F\le a) =C\int_0^adf\int_0^\infty dx_2\cdot \frac{\nu_1}{\nu_2}x_2\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}2\frac{\nu_1}{\nu_2}fx_2}(\frac{\nu_1}{\nu_2}fx_2)^{\frac{\nu_1}2-1}\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}2x_2}{x_2}^{\frac{\nu_2}2-1}$
$=C'\int_0^adf\cdot f^{\frac{\nu_1}2-1}\int_0^\infty dx_2\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}2(1+\frac{\nu_1}{\nu_2}f)}{x_2}^{\frac{\nu_1+\nu_2}2-1}$
$=C''\int_0^a f^{\frac{\nu_1}2-1}(1+\frac{\nu_1}{\nu_2}f)^{-\frac{\nu_1+\nu_2}2}\,df$
$=C'''\int_0^a (\frac{\nu_1}{\nu_2}+f^{-1})^{-\frac{\nu_1}2} (\frac{\nu_2}{\nu_1}+f)^{-\frac{\nu_2}2}\,\frac{df}f.$