カイ2乗検定 - yoshitake-hのブログ

確率空間に対し，確率変数を，
で定義する．
- $E(W_i)=p_i,$
  $E( (W_i-p_i)^2)=p_i(1-p_i)^2+(1-p_i)(-p_i)^2=p_i(1-p_i),$
  $E( (W_i-p_i)(W_j-p_j) )$
  $= p_i(1-p_i)(-p_j)+p_j(-p_i)(1-p_j)+(1-p_i-p_j)(-p_i)(-p_j)$
  $= -p_ip_j\quad (i\ne j).$
確率変数を，互いに独立で，と同じ分布に従うものとし，
とおく．
- $E(X_i)=np_i,\; E( (X_i-np_i)^2)=np_i(1-p_i),$
  $E( (X_i-np_i)(X_j-np_j) )=-np_ip_j\quad (i\ne j).$
さらに，

とおく．
- $\boldsymbol{p}=\,^t(\sqrt{p_1}\;\cdots\;\sqrt{p_m})$ とおくと， $^t\boldsymbol{p}\,\boldsymbol{p}=1,\quad ^t\boldsymbol{p}\,\boldsymbol{Y}=0.$
- $E(Y_i)=0,$
  $\Sigma_{ii}=E({Y_i}^2)=1-p_i,\quad \Sigma_{ij}=E(Y_iY_j)=-\sqrt{p_ip_j}\quad (i\ne j).$
- 分散共分散行列 $\Sigma=(\Sigma_{ij})$ は，
  $\Sigma =E-\boldsymbol{p}\,^t\boldsymbol{p}$
  と書けるので， $\Sigma\,\boldsymbol{p}=\mathbf{0}$ をみたし，
  $\boldsymbol{x},\,\boldsymbol{y}\in\boldsymbol{p}^\perp$ に対し， ${^t}\boldsymbol{x}\,\Sigma\,\boldsymbol{y}={^t}\boldsymbol{x}\,\boldsymbol{y}.$