ガンマ関数の Hankel 積分表示 - yoshitake-hのブログ

$\Gamma (s) =\int_0^\infty e^{-x}\,x^{s-1}\,dx \quad (\mathrm{Re}\,(s)>0).$
Twisted cycle を用いて定義域を拡張する．
$a>\varepsilon>0$ に対し，サイクル $C(\varepsilon,\,a)$ を，
$z:a\to \varepsilon,\quad z =\varepsilon\, e^{i\, \theta}\, (\theta :0\to 2\pi),\quad z: \varepsilon \to a$
で定めると， $s\not\in \mathbb{Z}$ に対し，
$\Gamma (s) =\int_a^\infty e^{-x}\, x^{s-1}\, dx + \frac{1}{e^{2\pi i\, s}-1}\, \int_{C(\varepsilon,\,a)} e^{-z}\, z^{s-1}\, dz\\ = \frac{1}{e^{2\pi i\, s}-1}\, \int_{C(\varepsilon,\,\infty )} e^{-z}\, z^{s-1} \\ = \frac{i}{2\, \sin (\pi s)}\, \int_{C(\varepsilon,\,\infty )} e^{-z}\, (-z)^{s-1} \, dz \\ =\frac{i\, \Gamma (s)\, \Gamma (1-s)}{2\, \pi} \int_{C(\varepsilon,\,\infty )} e^{-z}\, (-z)^{s-1} \, dz.$
よって，
$\frac{1}{\Gamma (1-s)} =\frac{i}{2\, \pi} \int_{C(\varepsilon,\,\infty )} e^{-z}\, (-z)^{s-1} \, dz,$
$\frac{1}{\Gamma (s)} =\frac{i}{2\, \pi} \int_{C(\varepsilon,\,\infty )} e^{-z}\, (-z)^{-s} \, dz.$
これは整関数．