yoshitake-hのブログ

Mandelkern による Tietze-Urysohn の拡張定理の短い証明

math

http://link.springer.com/article/10.1007/BF01207193?LI=true

定理
正規空間 $X$ の閉集合 $A$ と連続関数 $f:A\to [0,\,1]$ に対し， $f$ の連続な拡張 $g:X\to [0,\,1]$ が存在する．

証明

$P=\{(r,\,s)\in \mathbb{Q}^2\mid 0\le r<s<1\}$ とおき， $(r,\,s)\in P$ に対し，
$A_r=\{x\in A\mid f(x)\le r\},$
$U_s=X\smallsetminus \{x\in A\mid f(x)\ge s\}$
とおく． $A_r$ は閉集合， $U_s$ は開集合で， $A_r\subset U_s.$

$N:P\to \mathbb{N}$ を１対１対応とする．

正規性より，に対し，の順に，次の条件をみたすように閉集合を取っていくことができる．
- $A_r\subset {H_{r,\,s} }^o\subset H_{r,\,s} \subset U_s.$
- $N(t,\,u)<N(r,\,s),\; t<r,\; u<s\;\Rightarrow \; H_{t,\,u}\subset {H_{r,\,s} }^o,$
- $N(t,\,u)<N(r,\,s),\; t>r,\; u>s\;\Rightarrow \; H_{r,\,s}\subset {H_{t,\,u} }^o.$

$r\in \mathbb{Q}\cap [0,\,1]$ に対し，
$X_r=\bigcap_{s>r}H_{r,\,s},\quad X_1=X$
とおく． $X_r$ は閉集合．

$r,\, s\in \mathbb{Q}\cap [0,\,1],\; r<s$ に対し， $t\in \mathbb{Q},\; r<t<s$ を取ると，
$X_r\subset H_{r,\,t}\subset {H_{t,\,s} }^o\subset H_{t,\,s}\subset X_s.$
$\therefore \quad X_r\subset {X_s}^o.$

$r\in \mathbb{Q}\cap [0,\,1]$ に対し，
$A_r\subset X_r\cap A=A\cap \bigcap_{s>r}H_{r,\,s}\subset A\cap \bigcap_{s>r}U_s=A_r.$
$\therefore \quad X_r\cap A=A_r.$

$g:X\to [0,\,1]$ を $g(x)=\inf \{r\mid x\in X_r\}$ によって定義すると，これは $f$ の連続な拡張である．□

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20121110