素数定理 (2) - yoshitake-hのブログ

定理4
$\zeta(s)\ne 0\;(\mathrm{Re}(s)\ge 1).$

証明
$D(s)=\zeta(s)^3\,\zeta(s+it)^4\,\zeta(s+2it)$ とおく．
$D(1)\ne 0$ をいえばよい．
$-\frac{d}{ds}\log D(s) = \sum_p \left( \frac{3p^{-s}}{1-p^{-s} } +\frac{4p^{-s-it}}{1-p^{-s-it} } +\frac{p^{-s-2it}}{1-p^{-s-2it} }\right) \log(p)$
$= \sum_p \sum_{m=1}^\infty (3+4p^{-mit}+p^{-2mit}) p^{-ms}\log (p).$
$3+4\cos \theta +\cos 2\theta = 2(1+\cos \theta)^2\ge 0\; (\theta \in \mathbb{R} )$ より，
$\mathrm{Re} (3+4p^{-mit}+p^{-2mit}) \ge 0.$
よって $s>1$ に対し，
$\mathrm{Re}\left( \frac{d}{ds}\log D(s)\right) \le 0.$
したがって
$\lim_{s\to 1+0} (s-1) \frac{d}{ds}\log D(s)$
が正整数になることはない．//

http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20120209

定理5
$D(s) = \sum_p \frac{1}{p^s}\,\log(p)$
とおくと，
$D(s)-\frac{1}{s-1}$
は $\mathrm{Re}(s)\ge 1$ を含む開集合で正則．

証明
$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_p\frac{p^{-s} }{1-p^{-s}}\,\log(p) = D(s)+ \sum_p\frac{\log(p)}{p^s(p^s-1)} .$
ここで
$\sum_p\frac{\log(p)}{p^s(p^s-1)}$
は $\mathrm{Re}(s)>1/2$ で収束し正則．

$\zeta(s) -\frac{1}{s-1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}-\int_1^{\infty} \frac{1}{x^s}\,dx= \sum_{n=1}^{\infty} \int_n^{n+1} \left( \frac{1}{n^s} -\frac{1}{x^s}\right) dx$
は，
$\left| \int_n^{n+1}\left( \frac{1}{n^s} -\frac{1}{x^s}\right) \,dx \right| = \left| \int_n^{n+1}dx\int_n^x\frac{s}{u^{s+1} }\,du \right| \le \frac{|s|}{n^{\mathrm{Re}(s)+1} }$
より， $\mathrm{Re}(s)>0$ で正則．
よって定理 4 より，
$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} -\frac{1}{s-1}$
も $\mathrm{Re}(s)\ge 1$ を含む開集合で正則．//