有界関数の Laplace 変換 - yoshitake-hのブログ

有界局所可積分関数 $f(t)\;(t\ge 0)$ に対し，
$g(s)=\int_0^{\infty}f(t)\,\mathrm{e}^{-st}\,dt$
は $\mathrm{Re}(s)>0$ 上正則である．
このとき次が成立する．

定理 (Newman, 1980)
$g(s)$ が $\mathrm{Re}(s)\ge 0$ を含む開集合上の正則関数に拡張されるとき,
$\int_0^{\infty}f(t)\,dt$
は $g(0)$ に収束する．

証明
$g_T(s)=\int_0^Tf(t)\,\mathrm{e}^{-st}\,dt\;(T>0)$
は整関数．
$R>\delta>0$ とし， $g(s)$ が
$D=\{s\in\mathbb{C}\mid |s|\le R,\; \mathrm{Re}(s)\ge -\delta\}$
を含む開集合で正則であるとする．
Cauchy の積分公式より，
$g(0)-g_T(0) =\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D} (g(s)-g_T(s) )\,\mathrm{e}^{sT}\, \left( 1+\frac{s^2}{R^2}\right) \,\frac{ds}s.$

$|f(t)|\le M\; (t\ge 0)$ とする．

$C_+=\partial D\cap \{\mathrm{Re}(s)> 0\}$ 上で，
$|(g(s)-g_T(s) )\,\mathrm{e}^{sT} |=\left| \int_T^{\infty}f(t)\,\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{e}^{sT}\,dt\right| \le \frac{M}{\mathrm{Re}(s)},$
$\left| \left( 1+\frac{s^2}{R^2}\right) \frac{1}s\right| =\frac{2\,\mathrm{Re}(s)}{R^2}.$
よって
$\left| \frac{1}{2\pi i}\int_{C_+} (g(s)-g_T(s) )\,\mathrm{e}^{sT}\, \left( 1+\frac{s^2}{R^2}\right) \,\frac{ds}s \right| \le \frac{M}R.$

$C_-=\partial D\cap \{\mathrm{Re}(s)\le 0\},$
$C'_-= \{|s|=R,\; \mathrm{Re}(s)\le 0\}$ とすると，
$\frac{1}{2\pi i}\int_{C_-} g_T(s)\,\mathrm{e}^{sT}\, \left( 1+\frac{s^2}{R^2}\right) \,\frac{ds}s =\frac{1}{2\pi i}\int_{C_-'} g_T(s)\,\mathrm{e}^{sT}\, \left( 1+\frac{s^2}{R^2}\right) \,\frac{ds}s.$

$C'_-$ 上で，
$|g_T(s)\,\mathrm{e}^{sT} |=\left| \int_0^Tf(t)\,\mathrm{e}^{-st}\,\mathrm{e}^{sT}\,dt\right| \le \frac{M}{|\mathrm{Re}(s)|},$
$\left| \left( 1+\frac{s^2}{R^2}\right) \frac{1}s\right| =\frac{2\,|\mathrm{Re}(s)|}{R^2}.$
よって
$\left| \frac{1}{2\pi i}\int_{C_-} g_T(s)\,\mathrm{e}^{sT}\, \left( 1+\frac{s^2}{R^2}\right) \,\frac{ds}s \right| \le \frac{M}R.$

また，
$\lim_{T\to \infty}\,\frac{1}{2\pi i}\int_{C_-} g(s)\,\mathrm{e}^{sT}\, \left( 1+\frac{s^2}{R^2}\right) \,\frac{ds}s =0.$

以上により，
$\lim_{T\to\infty}|g(0)-g_T(0)|=0.$ //

系（定理3）
$c_n\ge 0,\; \theta(x)=\sum_{n\le x}c_n\log (n)$
とおく．
$\theta(x)=O(x)$ かつ
$\int_0^{\infty} (\theta(\mathrm{e}^t)\,\mathrm{e}^{-t}-1)\,\mathrm{e}^{-(s-1)t}\,dt =\int_0^{\infty} \theta(\mathrm{e}^t)\,\mathrm{e}^{-st}\,dt-\frac{1}{s-1}$
が $\mathrm{Re}(s)\ge 1$ を含む開集合で正則ならば，
$\int_0^{\infty} (\theta(\mathrm{e}^t)\,\mathrm{e}^{-t}-1)\,dt$
は収束する．

ここで， $\mathrm{Re}(s)>1$ のとき，
$\int_0^{\infty} \theta(\mathrm{e}^t)\,\mathrm{e}^{-st}\,dt = \int_1^{\infty}\frac{\theta(x)}{x^{s+1} }\,dx = s^{-1}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_n}{n^s}\log(n).$