微分積分学２ - yoshitake-hのブログ

ガンマ関数とベータ関数．
$\Gamma(s)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^sn!}{s(s+1)\cdots (s+n)}$
を仮定して
$\Gamma(\frac{s}{2})\Gamma(\frac{s+1}2)=2^{1-s}\sqrt{\pi}\Gamma(s)$
を導出し，さらにこれから
$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s}$
を導出．アルティンの本を参考にした．
http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20090701

$\Gamma(\frac{s}{2})\Gamma(\frac{s+1}{2})=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{s/2}n!n^{(s+1)/2}n!}{\frac{s}{2}(\frac{s}{2}+1)\cdots (\frac{s}{2}+n)\frac{s+1}{2}(\frac{s+1}{2}+1)\cdots (\frac{s+1}{2}+n)}$
$=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{2n+2}n^{s+\frac{1}{2}}(n!)^2}{s(s+1)\cdots (s+2n+1)}$
$=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)^s(2n+1)!}{s(s+1)\cdots (s+2n+1)}\cdot \frac{n^{\frac{1}{2}}n!}{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)\cdots (\frac{1}{2}+n)}\cdot 2^{1-s}$
$=\Gamma(s)\Gamma(\frac{1}{2})2^{1-s}=2^{1-s}\sqrt{\pi}\Gamma(s).$
ここで，
$\frac{(2n+1)!}{2^{2n+1}n!}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)\cdots (\frac{1}{2}+n)$
を用いた．

$f(s)=\Gamma(s)\Gamma(1-s)\sin\pi s$
とおくと，
$f(\frac{s}{2})f(\frac{s+1}{2})=\Gamma(\frac{s}{2})\Gamma(\frac{s+1}{2})\Gamma(1-\frac{s}{2})\Gamma(1-\frac{s+1}{2})\sin\frac{\pi s}{2}\sin\frac{\pi (1-s)}{2}$
$=2^{1-s}\sqrt{\pi}\Gamma(s)2^s\sqrt{\pi}\Gamma(1-s)\sin\frac{\pi s}{2}\cos\frac{\pi s}{2}$
$=\pi f(s).$

$g(s)=(\log f(s))''$ とおくと，
$g(s)=\frac{1}{4}(g(\frac{s}{2})+g(\frac{s+1}{2})).$
$f(s)=\Gamma(1+s)\Gamma(1-s)\frac{\sin \pi s}s$ より，
$g(s)$ が $0<s<1$ で有界であることがわかるので， $g(s)=0$ が示される．
したがって $\log f(s)$ は $s$ の１次関数になるが，
$\lim_{s\to +0}f(s)=\lim_{s\to 1-0}f(s)=\pi$
なので， $f(s)$ は定数であり， $\pi$ に等しい．