ガンマ関数 - yoshitake-hのブログ

$\Gamma(s)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^sn!}{s(s+1)\cdots (s+n)}.$
http://d.hatena.ne.jp/yoshitake-h/20090701

正値関数 $f(x)$ が 対数的凸 とは， $\log f(x)$ が凸関数であること，すなわち， $0\leq t\leq 1$ に対し，
$f((1-t)a+tb)\leq f(a)^{1-t}f(b)^t$
がなりたつこと．これは， $f(x)$ が連続で，
$f(\frac{a+b}2)^2\leq f(a)f(b)$
がなりたつことに同値．よって， $f(x)$ が連続で，任意の実数 $y$ に対し，
$f(a)y^2+2f(\frac{a+b}2)y+f(b)\geq 0$
がなりたつことに同値．

したがって， $e^{-x}x^{s-1}$ が $s$ について対数的凸なので，
$\Gamma(s)=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx$
は対数的凸．
ゆえに $0<s\leq 1$ に対し，
$\log \Gamma(n+1)-\log\Gamma(n)} \leq \frac{\log\Gamma(s+n+1)-\log\Gamma(n+1)}s \leq \log \Gamma(n+2)-\log\Gamma(n+1).$
よって，
$n^sn!\leq \Gamma(s+n+1) \leq (n+1)^sn!,$
$\frac{n^sn!}{s(s+1)\cdots (s+n)}\leq \Gamma(s)\leq \frac{(n+1)^sn!}{s(s+1)\cdots (s+n)},$
$(\frac{n}{n+1})^s\Gamma(s)\leq\frac{n^sn!}{s(s+1)\cdots (s+n)}\leq \Gamma(s).$
したがって，
$\Gamma(s)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^sn!}{s(s+1)\cdots (s+n)}.$
$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ を用いて $s>0$ に拡張できる．