Poincaré の補題 - yoshitake-hのブログ

$\mathbb{R}^n$ 上の $C^\infty$ 1-form
$\theta =\sum_{i=1}^n \theta_i(x)\mathrm{d}x_i$
に対して，次は同値．
(1) $\theta =\mathrm{d}f$ すなわち
$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\theta_i(x)\qquad (i=1,\,\dots,\,n)$
をみたす $C^\infty$ 関数 $f$ が存在する．
(2) $\mathrm{d}\theta =0$ すなわち
$\frac{\partial \theta_i}{\partial x_j} =0\qquad (i,\,j\in \{1,\,\dots,\,n\}).$

より一般に，
$\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}$ 上の $C^\infty$ 1-form
$\theta =\sum_{i=1}^n \theta_i(x,\,y)\mathrm{d}x_i -\mathrm{d}y$
に対して，次は同値．
(1)
$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\theta_i(x,\,f(x))\qquad (i=1,\,\dots,\,n)$
をみたす $C^\infty$ 関数 $f$ が存在する．
(2) $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}$ 上の $C^\infty$ 1-form $\omega$ が存在して，
$\mathrm{d}\theta =\omega \wedge \theta.$
これは Frobenius の定理の特別な場合である．