yoshitake-hのブログ

Witt design S(5, 8, 24)

math

標数2の体上の射影平面では，Menelaus の定理の状況と Ceva の定理の状況が一致．

$V\cong {\mathbb{F}_4}^3$ 上の非零スカラー倍が ${\bigwedge}^3 V$ 上に恒等写像を誘導するので， $\mathrm{GL}(V)$ の ${\bigwedge}^3 V$ への自然な作用が $\mathrm{PGL}(V)$ の作用に落ちる．

$W=\mathbb{P}(V)\sqcup ({\bigwedge}^3V\smallsetminus \{0\} )$ に $\mathrm{PGL}(V)$ が自然に作用する．

$\mathrm{Fr}:{\mathbb{F}_4}^3\to {\mathbb{F}_4}^3,\quad (x,\,y,\,z)\mapsto (x^2,\,y^2,\,z^2)$ とおく．

同型 $\varphi:{\mathbb{F}_4}^3\to V$ に対し $\varphi \circ\mathrm{Fr} \circ \varphi^{-1} :V\to V$ が involution $\mathrm{Fr}_\varphi :W\to W$ を誘導する．これを Frobenius 写像とよぶ．

Frobenius 写像の固定点は， $\mathbb{P}(V)$ 上の7点と ${\bigwedge}^3 V\smallsetminus \{0\}$ の1点からなる．

$2^W$ は $x+y=(x\cup y)\smallsetminus (x\cap y)$ によって $\mathbb{F}_2$ 上のベクトル空間になる．

$L\cup ({\bigwedge}^3 V\smallsetminus \{0\})$ （ $L$ は $\mathbb{P}(V)$ 上の直線）
と各 Frobenius 写像の固定点集合とで生成される $2^W$ の部分空間を $G$ とし， $G$ の元のうち 8点集合であるもの全体の集合を $B$ とする．

$(W, B)$ は S(5, 8, 24) である．