Jacobi の楕円関数 - yoshitake-hのブログ

定義
楕円
$\left(\frac{x}a\right)^2+y^2=1\quad (a\ge 1)$
上の点を
$(x,\,y) =(a\cos \theta,\,\sin \theta) =(r (\theta)\cos \eta(\theta),\,r(\theta)\sin \eta(\theta))\quad (r>0)$
と表す．
$\theta:0\to \varphi$ に対する，速度ベクトルの回転方向成分の大きさの積分を $u$ とするとき，
$\mathrm{sn}(u)=\sin\varphi,\quad \mathrm{cn}(u)=\cos\varphi,\quad \mathrm{dn}(u)=\frac{r(\varphi)}a$
を Jacobi の楕円関数 という．

$\frac{r}a =\sqrt{\cos^2\theta+a^{-2}\sin^2\theta} =\sqrt{1-(1-a^{-2}) \sin^2\theta}$
より， $k=\sqrt{1-a^{-2}}$ とおくと， $0\le k< 1$ であり，
$\mathrm{dn}(u)=\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}.$
$k$ に対する依存性を明示するときは，
$\mathrm{sn}(u,\,k),\quad \mathrm{cn}(u,\,k),\quad \mathrm{dn}(u,\,k)$
と書く．

$\mathrm{sn}(0)=0,\quad \mathrm{cn}(0)=\mathrm{dn}(0)=1.$
$\mathrm{sn}(-u)=-\mathrm{sn}(u),\quad \mathrm{cn}(-u)=\mathrm{cn}(u),\quad \mathrm{dn}(-u)=\mathrm{dn}(u).$
$\mathrm{cn}(u)^2+\mathrm{sn}(u)^2=1,\quad \mathrm{dn}(u)^2=1-k^2\mathrm{sn}(u)^2.$

$\tan \eta = \frac{1}a\tan \theta$
より，
$\frac{1}{\cos^2\eta}\,d\eta = \frac{1}a\cdot \frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta,\quad d\eta=ar^{-2}\,d\theta.$
よって，
$u=\int_0^{\eta(\varphi)}r\,d\eta =\int_0^\varphi \frac{a}r\,d\theta =\int_0^\varphi \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}.$
この式を用いれば， $k=1$ とおくこともできる．

$\mathrm{sn}(u,\,0)=\sin u,\quad \mathrm{cn}(u,\,0)=\cos u,\quad \mathrm{dn}(u,\,0)=1.$
$\mathrm{sn}(u,\,1)=\tanh u,\quad \mathrm{cn}(u,\,1)=\mathrm{dn}(u,\,1)=\frac{1}{\cosh u}.$

$\frac{d}{du}\,\mathrm{sn}(u) =\cos \varphi\, \frac{d\varphi}{du}=\mathrm{cn}(u)\,\mathrm{dn}(u),$
$\frac{d}{du}\,\mathrm{cn}(u) =-\sin \varphi\, \frac{d\varphi}{du}=-\mathrm{sn}(u)\,\mathrm{dn}(u).$
よって
$\frac{d}{du}\,\mathrm{dn}(u)^2 =-k^2 \frac{d}{du}\,\mathrm{sn}(u)^2$
より，
$\frac{d}{du}\,\mathrm{dn}(u) = -k^2\mathrm{sn}(u)\,\mathrm{cn}(u).$

$\frac{d^2}{du^2}\,\mathrm{sn}=-\mathrm{sn}-k^2(1-2\mathrm{sn}^2)\mathrm{sn},$
$\frac{d^2}{du^2}\,\mathrm{cn}=-\mathrm{cn}+2k^2(1-\mathrm{cn}^2)\mathrm{cn},$
$\frac{d^2}{du^2}\,\mathrm{dn}=2(1-\mathrm{dn}^2)\mathrm{dn}-k^2\mathrm{dn}.$

$K(k)=\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}$
とおくと，
$\mathrm{sn}(u+2K)=-\mathrm{sn}(u),$
$\mathrm{cn}(u+2K)=-\mathrm{cn}(u),$
$\mathrm{dn}(u+2K)=\mathrm{dn}(u).$

$x=\sin \theta,\,\sigma=\sin \varphi$ とおくと，
$u=\int_0^\sigma\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)} },\quad \sigma=\mathrm{sn}(u).$
$\mathrm{sn}(u),\;\mathrm{cn}(u),\;\mathrm{dn}(u)$ は実解析的なので，実軸の近傍上の正則関数に拡張できる．
実数 $y$ に対し $z=iy$ とおくと，
$(1-z^2)(1-k^2 z^2)=(1+y^2)(1+k^2y^2)$
は実数．実数 $t$ に対し，虚軸上の積分
$\int_0^{it}\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2z^2)} } =i\int_0^t\frac{dy}{\sqrt{(1+y^2)(1+k^2y^2)} }=iv.$
は純虚数．
よって $\mathrm{sn}$ は虚軸の近傍上の正則関数に拡張され，
$\mathrm{sn}(iv)=it.$
$y=\tan\hat{\theta},\;t=\tan\hat{\varphi}$ とおくと，
$dy=\frac{1}{\cos^2\hat{\theta}}\,d\hat{\theta},\quad 1+y^2=\frac{1}{\cos^2\hat{\theta}},$
$1+k^2y^2= \frac{\cos^2\hat{\theta}+k^2\sin^2\hat{\theta}}{ \cos^2\hat{\theta} }= \frac{1-\hat{k}^2\sin^2\hat{\theta}}{ \cos^2\hat{\theta} },\quad \hat{k}^2+k^2=1.$
したがって，
$v=\int_0^{\hat{\varphi}} \frac{d\hat{\theta}}{\sqrt{1-\hat{k}^2\sin^2\hat{\theta} }},$
$\mathrm{sn}(v,\,\hat{k})=\sin\hat{\varphi},\quad \mathrm{cn}(v,\,\hat{k})=\cos\hat{\varphi}.$
以上により次が得られた．

$\mathrm{sn}(iv,\,k)=i\,\frac{\mathrm{sn}(v,\,\hat{k})}{\mathrm{cn}(v,\,\hat{k})}.$

よって $K'(k)=K(\hat{k})$ とおくと，
$\mathrm{sn}(iv+2iK')=\mathrm{sn}(iv).$