フィルターつき複体のスペクトル系列

フィルターつき複体

$d:F^pC^{p+q}\to F^pC^{p+q+1},\quad dd=0,$
$F^pC\supset F^{p+1}C,\quad \bigcup_{p\le 0}F^pC=C,\quad \bigcap_{p\ge 0}F^pC=0$
に対し，コホモロジーの gr を近似する加群の列を構成する．
コバウンダリー，コサイクルを近似する加群
- $X\subset C$ に対し，
  
  $F^pX=X\cap F^pC,\quad \hat{F}^pX=F^pX+F^{p+1}C$
  
  とおく．
- $F^pdC\supsetneqq dF^pC$ に注意．
- コバウンダリー $B^q=dC^{q-1}$ を近似する加群 $B[p]=dF^pC$ を導入すると，
  
  $dF^pC=F^pB[p]\subset F^pB[p-1]\subset F^pB[p-2]\subset \cdots \subset \bigcup_{p'\le p}F^pB[p']=F^pB.$
- コサイクル $Z^q=\{x\in C^q\mid dx=0\}$ を近似する加群 $Z[p]=\{x\in C\mid dx\in F^pC\}$ を導入すると，
  
  $F^pC=F^pZ[p]\supset F^pZ[p+1]\supset F^pZ[p+2]\supset \cdots \supset \bigcap_{p'\ge p}F^pZ[p']=F^pZ,$
  $dF^pZ[p']=F^{p'}B[p].$
コホモロジー上のフィルトレーション

$F^pH^{p+q}:= \frac{F^pZ^{p+q} }{B^{p+q}\cap F^pZ^{p+q} }= \frac{F^pZ^{p+q} }{F^pB^{p+q} } \subset H^{p+q}=\frac{Z^{p+q} }{B^{p+q} },$

$\mathrm{gr}^pH= \frac{F^pH }{F^{p+1}H }\overset{\sim}{\leftarrow} \frac{F^pZ }{ F^pB+F^{p+1}Z } = \frac{F^pZ }{ ( F^pB + F^{p+1}C )\cap F^pZ }$

$\overset{\sim}\to \frac{F^pZ +F^{p+1}C }{ F^pB + F^{p+1}C } = \frac{\hat{F}^pZ}{\hat{F}^pB}.$
コホモロジーの gr の近似
- 列 $F^pC\supset \hat{F}^pZ\supset \hat{F}^pB\supset dF^pC+F^{p+1}C$ を細分する．
  
  $F^pC= \hat{F}^pZ[p] \supset \hat{F}^pZ[p+1] \supset \hat{F}^pZ[p+2] \supset \cdots \supset \bigcap_{p'\ge p} \hat{F}^pZ[p']=\hat{F}^pZ,$
  
  $dF^pC+F^{p+1}C=\hat{F}^pB[p]\subset \hat{F}^pB[p-1] \subset \cdots \subset \bigcup_{p'\le p}\hat{F}^pB[p']=\hat{F}^pB.$
- コホモロジーの gr を外から近似する加群
  
  $\frac{\hat{F}^pZ[p+r] }{\hat{F}^pB[p-s] }=\frac{F^pZ[p+r]+F^{p+1}C}{F^pB[p-s] +F^{p+1}C} \overset{\sim}\leftarrow \frac{F^pZ[p+r]}{F^pB[p-s] + F^{p+1}Z[p+r]}$
  $= \frac{F^pZ[p+r]}{dF^{p-s}Z[p] + F^{p+1}Z[p+r] }$
  
  を考える．
スペクトル系列
- $p'=p+r$ とおき， $p'-s=p+1$ となるように $s=r-1$ と定めると，
  
  $dF^{p+1}Z[p+r]=dF^{p'-r+1}Z[p']$ より，写像 d が
  
  $d_r^p: \frac{F^pZ[p+r]}{dF^{p-r+1}Z[p] + F^{p+1}Z[p+r] } \to \frac{F^{p'}Z[p'+r]}{dF^{p'-r+1}Z[p'] + F^{p'+1}Z[p'+r]}$
  
  を誘導する．後は自動的にうまく行く．
  
  $\mathrm{Ker}\,d_r^p = \frac{F^pZ[p+r+1]}{dF^{p-r+1}Z[p] + F^{p+1}Z[p+r+1]},$
  
  $\mathrm{Im}\,d_r^p = \frac{dF^{p'-r}Z[p']+ F^{p'+1}Z[p'+r+1] }{dF^{p'-r+1}Z[p'] + F^{p'+1}Z[p'+r+1] }.$
  
  $\therefore \quad \frac{\mathrm{Ker}\,d_r^p}{\mathrm{Im}\,d_r^{p-r} } = \frac{F^pZ[p+r+1]}{dF^{p-r}Z[p] + F^{p+1}Z[p+r+1]}.$
- そこで
  
  $E_r^{p,\,q}=\frac{F^pZ^{p+q}[p+r]}{dF^{p-r+1}Z^{p+q-1}[p] + F^{p+1}Z^{p+q}[p+r]} \overset{\sim}\to \frac{\hat{F}^pZ^{p+q}[p+r] }{\hat{F}^pB^{p+q}[p-r+1] }$
  
  とおくと，
  
  $d_r^{p,\,q}:E_r^{p,\,q}\to E_r^{p+r,\,q-r+1},\quad \frac{\mathrm{Ker}\,d_r^{p,\,q} }{\mathrm{Im}\,d_r^{p-r,\,q+r-1} } = E_{r+1}^{p,\,q}.$
- $d_r=0$ ならば， $\mathrm{gr}^pH^{p+q}\cong E_r^{p,\,q}.$