長完全列 - yoshitake-hのブログ

複体 $X$ に対し，
$X[1]^n=X^{n+1},\quad d_{X[1]}^n=(-1)^nd_X^{n+1}:X[1]^n\to X[1]^{n+1}$
とする．
複体の射 $f:X\to Y$ に対し，
$Z=Y\oplus X[1],\quad d_Z= \begin{pmatrix} d_Y & f \\ 0 & d_{X[1]}\end{pmatrix}$
によって複体が定義される．コホモロジー群をとると，完全列
$H^n(X)\to H^n(Y)\to H^n(Z)\to H^{n+1}(X)\to H^{n+1}(Y)$
が誘導される．
これを，複体とコホモロジー群という異なるレベルの間で起きている現象としてではなく，同一のレベルの中で起きている現象として理解できないか．