Triangulated categories - yoshitake-hのブログ

加法圏が自己同型をもつとする．
- $X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{D} ),\; f\in \mathcal{D}(X,\,Y)$ に対し， $T^nX=X[n],\; T^nf=f[n]$ と書く．
を triangle という．
- triangle の間の射を可換図式によって定義する．
- triangle の圏の自己同型が
  $\tau ( X\to Y\to Z \to X[1]) = ( Y\to Z \to X[1]\to Y[1] )$
  によって定義される．
が triangle の圏の充満部分圏を与えていて，次をみたすとする．
- $\tau$ の作用で閉じている．
- $\Delta$ の対象と同型な triangle はすべて $\Delta$ の対象．
次が成立するとき，を triangulated category という．
1. $X\underset{\mathrm{id}}{\to} X\to 0 \to X[1]\quad \in \Delta (X,\,X,\,0)$
2. 任意の $\varphi \in \mathcal{D}(X,\,Y)$ に対し，
  $X\underset{\varphi}\to Y\to Z \to X[1]\quad \in \Delta (X,\,Y,\,Z)$
  が存在する．
3. 任意の
  $X_i\to Y_i\to Z_i \to X_i[1]\quad \in \Delta (X,\,Y,\,Z)\quad (i=1,\,2),$
  $(f,\,g):(X_1\to Y_1)\to (X_2\to Y_2)$
  に対し， $h\in \mathcal{D}(Z_1,\, Z_2)$ が存在して，
  $(X_1\to Y_1\to Z_1 \to X[1] )\underset{(f,\,g,\,h,\,f[1])}\to (X_2\to Y_2\to Z_2 \to X_2[1] ).$
4. （八面体公理）
  $X\underset{f}\to Y \underset{f'}\to Z'\to X[1] \quad \in \Delta(X,\,Y,\,Z'),$
  $X\underset{gf}\to Z \to Y'\to Z[1] \quad \in \Delta(X,\,Z,\,Y'),$
  $Y\underset{g}\to Z \to X'\underset{g''}\to Y[1] \quad \in \Delta(Y,\,Z,\,X')$
  に対し，
  $h\in \mathcal{D}(Z',\,Y'),\; h'\in \mathcal{D}(Y',\,Z')$
  が存在して，射
  $(X\underset{f}\to Y \to Z'\to X[1]) \underset{(\mathrm{id},\, g,\,h,\,\mathrm{id} )}\to (X\underset{gf}\to Z \to Y'\to X[1] ),$
  $(X\underset{gf}\to Z \to Y'\to X[1]) \underset{(f,\, \mathrm{id},\,h',\,f )}\to (Y\underset{g}\to Z \to X'\to Y[1] )$
  を与え，
  $Z'\underset{h}\to Y'\underset{h'}\to X'\underset{f'[1]g''}\to Z'[1]\quad \in \Delta (Z',\,Y',\,X').$