位相幾何学特論

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同変コホモロジーと接続形式．

  1. 多様体 M 上のベクトル場 \xi に対し，
    \Omega^*_\xi (M) =\{ \omega \in \Omega^*(M) \mid L_\xi \omega =0\} \otimes \mathbb{R}[t]
    は，d_\xi =d+ti_\xi により複体をなす．t の次数は2とする．
    そのコホモロジーを同変コホモロジーとよび，
    H^q_\xi(M)
    と書く．

  2. 一方，
    \Omega^q_\xi (M)_{\textrm{basic}} =\{ \omega \in \Omega^q(M) \mid L_\xi \omega =0,\; i_\xi \omega =0\}
    は d により複体になる．そのコホモロジーを
    H^q_\xi(M)_{\textrm{basic}}
    と書く．

  3. 包含写像
    \Omega^q_\xi (M)_{\textrm{basic}} \subset \Omega^q_\xi (M)
    は複体の準同型なのでコホモロジーの準同型を誘導する．

  4. \theta \in \Omega^1(M) で
    L_\xi \theta=0,\quad i_\xi \theta =1
    をみたすものを，接続形式という．
    d\theta \in \Omega^2_\xi (M)_{\textrm{basic}}
    を曲率形式，
    [d\theta ] \in H^2_\xi(M)_{\textrm{basic}}
    を Euler 類という．

  5. 定理．接続形式が存在するとき，
    H^q_\xi(M)_{\textrm{basic}} \to H^q_\xi(M)
    は同型．

  6. 全射性の証明．
    d_\xi \theta =d\theta +t
    より，H^q_\xi(M) の任意の元に対し，代表元として，t を含まないもの \omega がとれる．
    d_\xi \omega =0 より，i_\xi\omega =0.
    \therefore \quad \omega \in \Omega^q_\xi (M)_{\textrm{basic}},\quad d\omega =0.

  7. 単射性の証明．
    \omega =d_\xi \psi ,\quad \omega \in \Omega^q_\xi (M)_{\textrm{basic}},\quad \psi=\sum_{i=0}^k \psi_it^i \in \Omega^{q-1}_\xi (M)
    とすると，
    d\psi_0=\omega,\quad i_\xi \psi_i+d\psi_{i+1}=0\;(0\leq i\leq k-1),\quad i_\xi \psi_k=0.
    \psi'_k=\psi_k,\quad \psi'_{k-j-1}=\psi_{k-j-1}-d(\theta \wedge \psi'_{k-j})\;(0\leq j\leq k-1)
    とおくと，
    \psi'_i\in \Omega^{q-1-2i}_\xi (M)_{\textrm{basic}},\quad \omega =d \psi'_0.