"Counterexamples in Topology" ゼミ

math

有界閉区間は，可算個の閉集合の disjoint union で書けない．
証明
有界閉区間 I が可算個のたがいにまじわらない閉集合
C_i\quad (i=1,2,3,\dots)
の和になっているとする．
B=\bigcup_i\partial C_i=I-\bigcup_i{C_i}^\circ,\quad \partial C_i =\overline{C_i}-{C_i}^\circ =C_i-{C_i}^\circ
とおくと，これは空でない閉集合．
ただし，{C_i}^\circ は I における C_i の内部．
よって B は完備距離空間なので，Baire のカテゴリー定理より，
自然数 k が存在して，\partial C_k は nowhere dense でない．

よって開区間 U が存在して，
\phi \neq U\cap B \subset \partial C_k.
よって，U\cap\partial C_k\neq\phi.
i\neq k ならば U\cap \partial C_i =\phi. (*)

U\cap\partial C_k\neq\phi より，U\cap I\not\subset C_k.
よって m\neq k があって，U\cap C_m\neq\phi.

a\in U\cap \partial C_k,\quad b\in U\cap C_m をとる．
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