yoshitake-hのブログ

フィルトレーションつき鎖複体のスペクトル系列

math

設定
アーベル群の鎖複体 $C^\bullet=\{C^n,\; d:C^n\to C^{n+1}\}$ 上の減少フィルトレーション
$C^n=F^0C^n,\quad F^pC^n\supset F^{p+1}C^n,\quad \bigcap_pF^pC^n=0,\quad d(F^pC^n)\subset F^pC^{n+1}$
が与えられているとする．

アイデア：　フィルトレーションにより， $\mathrm{Ker}\,d$ を外から， $\mathrm{Im}\,d$ を中から近似する．

構成

のにおける像をそれぞれとすると，
- $\mathrm{gr}^pC^{p+q}=Z_0^{p,q}\supset Z_1^{p,q}\supset \cdots \supset B_1^{p,q}\supset B_0^{p,q}=0.$
- コホモロジー群に誘導されるフィルトレーションに対して，
  $\mathrm{gr}^p\mathrm{H}^{p+q}(C^\bullet) = \bigcap_rZ_r^{p,q}/\bigcup_rB_r^{p,q}.$
- アーベル群の列
  $E_r^{p,q} := Z_r^{p,q}/B_r^{p,q}\quad (r=0,\,1,\,2,\,\dots)$
  がこれに近づいていく．

定理
はを誘導し，
- これによって $E_r^{p,q}\; (r=0,\,1,\,2,\,\dots)$ を順に求めてゆくことができる．