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フィルターつき複体のスペクトル系列（完全対による）

math

フィルターつき複体

$d:F^pC^{p+q}\to F^pC^{p+q+1},\quad dd=0,$
$F^pC\supset F^{p+1}C,\quad \bigcup_{p\le 0}F^pC=C,\quad \bigcap_{p\ge 0}F^pC=0$
に対し，コホモロジーの gr を近似する加群の列を構成する．

コホモロジーの gr

$X\subset C$ に対し，

$F^pX=X\cap F^pC$

とおくと，

$\mathrm{gr}^pH(C)=\frac{F^pZ}{F^pdC+F^{p+1}Z},\quad Z=\{x\in C\mid dx=0\}.$

$Z[p]=\{x\in C\mid dx\in F^pC\}$

とおくと，

$\bigcap_r F^pZ[p+r]=F^pZ,\quad \bigcup_s dF^{p-s}Z[p]=F^pdC.$
複体の完全列

は完全列

を誘導する．
- 証明
  
  $H^{p+q}(F^pC)=\frac{F^pZ^{p+q} }{dF^pC^{p+q-1} },\quad H^{p+q}(\mathrm{gr}^pC) =\frac{F^pZ^{p+q}[p+1] }{dF^pC^{p+q-1}+F^{p+1}C^{p+q} }$
  
  より，
  
  $\frac{F^{p+1}Z }{dF^{p+1}C }\to \frac{F^pZ }{dF^pC }\to \frac{F^pZ[p+1] }{dF^pC+F^{p+1}C } \underset{[d]}\to \frac{F^{p+1}Z }{dF^{p+1}C }\to \frac{F^pZ }{dF^pC }$
  
  が完全であることを確かめればよい．//
d の誘導する準同型

$d_1^p:\frac{F^pZ[p+1] }{dF^pC+F^{p+1}C } \to \frac{F^{p+1}Z[p+2] }{dF^{p+1}C+F^{p+2}C }$

に対し，

$\frac{\mathrm{Ker}\,d_1^p}{\mathrm{Im}\,d_1^{p-1} }=\frac{F^pZ[p+2] }{dF^{p-1}Z[p]+F^{p+1}Z[p+2]}.$

よって，

$E_r^p=\frac{F^pZ[p+r] }{dF^{p-r+1}Z[p]+F^{p+1}Z[p+r] },\quad A_r^p=\frac{F^pZ}{dF^{p-r+1}Z[p] }$

とおくと，完全対

$\frac{F^{p+1}Z }{dF^{p+1}C }\to \frac{F^pZ }{dF^pC }\to \frac{F^pZ[p+1] }{dF^pC+F^{p+1}C } \to \frac{F^{p+1}Z }{dF^{p+1}C }\to \frac{F^pZ }{dF^pC }$

の第1導来対は，

$A_2^{p+1}\to A_2^p\to E_2^p\underset{[d]}\to A_2^{p+2}\to A_2^{p+1}.$

第 r-1 導来対は，

$A_r^{p+1}\to A_r^p\to E_r^p\underset{[d]}\to A_r^{p+r}\to A_r^{p+r-1}.$