Gram-Schmidt の正規直交化から Legendre 多項式へ

$\mathbb{R}[x]_n$ を $x$ の n 次以下の実係数多項式全体のなすベクトル空間とし，内積を
$\langle f,\,g\rangle = \int_{-1}^1f(x)g(x)\,\mathrm{d} x$
で定義する．
$\mathbb{R}[x]_n$ の基底 $1,\,x,\,\dots,\,x^n$ から Gram-Schmidt の正規直交化によって得られる正規直交基底を
$\sqrt{\frac{2k+1}2}L_k(x)\in \mathbb{R}[x]_k,\quad k=0,\,1,\,\dots,\,n$
とする．
$Tf(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left( (1-x^2)\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x)\right)$
とおくと，