Legendre 多項式 - yoshitake-hのブログ

$n=0,\,1,\,2,\,\dots,$ に対し， $P_n(x)$ を $n$ 次の項が0でない $n$ 次多項式で，内積
$(f,\,g)=\int_{-1}^1 f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$
に関して互いに直交するものとする．

$P_n(x)$ は定数倍を除いて一意に決まる．

$P_n(x)$ は $x^k\;(0\le k<n)$ と直交し， $x^n$ とは直交しない．

偶関数と奇関数が直交することから， $P_n(-x)=(-1)^nP_n(x).$

$P_n(1)\ne 0.$

証明．

$\left[ P_n(x)P_{n+1}(x)\right]_{-1}^1= \int_{-1}^1 P'_nP_{n+1}\,\mathrm{d}x + \int_{-1}^1 P_nP'_{n+1}\,\mathrm{d}x ,$
$\int_{-1}^1 P'_nP_{n+1}\,\mathrm{d}x=0,\quad \int_{-1}^1 P_nP'_{n+1}\,\mathrm{d}x\ne 0,$
$\left[ P_n(x)P_{n+1}(x)\right]_{-1}^1=2P_n(1)P_{n+1}(1)$
より， $P_n(1)\ne 0.//$

$P_n(1)=1$ と正規化すると $P_n(x)$ が決まる．これを Legendre 多項式 という．