Hermite 多項式 - yoshitake-hのブログ

1. Hermite 多項式の母関数

$e^{2tx-t^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}H_n(x)$

とおくと， $H_n(x)$ は n 次多項式．

2. 直交性
$\int_{-\infty}^\infty dx\cdot e^{-(x-t-u)^2}=\sqrt{\pi}$
より，
$\int_{-\infty}^\infty dx\cdot e^{-x^2} e^{2tx-t^2}e^{2ux-u^2}=\sqrt{\pi}\,e^{2tu}.$
よって，

$\int_{-\infty}^\infty dx\cdot e^{-x^2}H_m(x)H_n(x)=\sqrt{\pi}(n!)2^n\delta_{mn}.$

すなわち，
$\frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt{(n!)2^n} }\,e^{-x^2/2}H_n(x)$
は内積
$(f,\,g)=\int_{-\infty}^\infty dx\cdot f(x)g(x)$
に関して正規直交．

3. 固有関数
$\left( -\frac{\partial^2}{\partial x^2}+x^2\right) e^{-x^2/2}e^{2tx-t^2}\\ =(-(-x+2t)^2+1+x^2)e^{-x^2/2}e^{2tx-t^2}\\ =(4tx-4t^2+1)e^{-x^2/2}e^{2tx-t^2}\\ =\left(2t\frac{\partial}{\partial t}+1\right) e^{-x^2/2}e^{2tx-t^2}$
より，

$\left( -\frac{d^2}{dx^2}+x^2\right)\, e^{-x^2/2} H_n(x)=(2n+1)\,e^{-x^2/2}H_n(x).$

4. 熱核

$U(t,\,x,\,y) =\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-x^2/2}H_n(x)\,e^{-y^2/2}H_n(y)}{\sqrt{\pi}(n!)2^n}\,q^{n+\frac{1}2}\quad (q=e^{-t},\; t>0)$

とおくと，L² 関数 $\varphi(x)$ に対し，

$\lim_{t\to +0} \int_{-\infty}^\infty U(t,\,x,\,y)\,\varphi(y)\,dy=\varphi(x).$

また，
$\left( \frac{\partial}{\partial t}-\frac{1}2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}2 x^2\right)e^{-x^2/2}H_n(x)e^{-(n+\frac{1}2)t}=0$
より，

$\left( \frac{\partial}{\partial t}-\frac{1}2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}2 x^2\right)U=0.$

5. 積分表示
$\int_{-\infty}^\infty d\xi \cdot e^{-(\xi+i(t-x) )^2}=\sqrt{\pi}$
より，
$e^{2tx-t^2}=\frac{1}{\sqrt{\pi} }\,e^{x^2}\int_{-\infty}^\infty d\xi\cdot e^{-\xi^2+2ix\xi}e^{-2it\xi}.$
よって．

$H_n(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi} }\,e^{x^2}\int_{-\infty}^\infty d\xi\cdot e^{-\xi^2+2ix\xi}(-2i\xi)^n.$

6. Mehler の公式
積分表示より，
$\frac{H_n(x)H_n(y)}{(n!)2^n}q^n = \frac{1}{\pi}e^{x^2+y^2}\int\!\!\int_{\mathbb{R}^2}d\xi\,d\eta\cdot e^{-\xi^2+2ix\xi}e^{-\eta^2+2iy\eta}\frac{(-2i\xi)^n(-2i\eta)^n(\frac{q}2)^n}{n!}.$

よって
$U(t,\,x,\,y) =\frac{1}{\pi^{3/2}}\,q^{1/2} e^{\frac{1}2(x^2+y^2)} \int\!\!\int_{\mathbb{R}^2}d\xi\,d\eta\cdot e^{-\xi^2+2ix\xi}e^{-\eta^2+2iy\eta} e^{-2q\xi\eta}.$

$-\xi^2+2ix\xi-\eta^2+2iy\eta-2q\xi\eta+ \frac{1}2(x^2+y^2)$
$=-(\xi+q\eta-ix)^2+(q\eta-ix)^2-\eta^2+2iy\eta+\frac{1}2(x^2+y^2)$
$=-(\xi+q\eta-ix)^2-(1-q^2)\eta^2-2i(qx-y)\eta-x^2+\frac{1}2(x^2+y^2)$
$=-(\xi+q\eta-ix)^2-(1-q^2)\left( \eta+i\frac{qx-y}{1-q^2}\right)^2-\frac{(qx-y)^2}{1-q^2} -x^2+\frac{1}2(x^2+y^2)$
$=-(\xi+q\eta-ix)^2-(1-q^2)\left( \eta+i\frac{qx-y}{1-q^2}\right)^2+\frac{2qxy-\frac{1}2 (1+q^2)(x^2+y^2) }{1-q^2}$
より，

$U(t,\,x,\,y)=\sqrt{\frac{q}{\pi(1-q^2)} }\exp \frac{2qxy-\frac{1}2 (1+q^2)(x^2+y^2) }{1-q^2}$
$=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sinh(t)} }\,\exp \frac{xy-\frac{1}2 \cosh(t)(x^2+y^2)}{\sinh(t)}.$