を直径とする円を とする． に接する傍接円，内接円は， に関する反転に関して不変． よって，九点円の に関する反転が であることを言えばよい．

点 を中心とする半径 の円を とする． 円 に関する点 の反転とは，半直線 上の点 であって， をみたすもののこと．円 に関する反転は， 円 上の点を固定する． 点 を通る直線を自分自身にうつす． 点 を通らない円を点 を通らない円にうつす． 円 に直交する…

補題3 BC を ∠ A の二等分線に関して対称移動したものを l とする．このとき，九点円の M における接線 m は l に平行である．

補題1 △ABC において，辺 BC と内接円，傍接円の接点をそれぞれ K, K' とすると，BC の中点は KK' の中点に一致する．証明 BK+CK = BC = BK'+CK' である． また，直線 AB と内接円，今の傍接円の接点を P, P' とすると，BK+BK' = BP+BP' = PP' = CK+CK' . よ…

九点円は内接円，傍接円に接する．