Feuerbach の定理の証明の準備1

補題1　△ABC において，辺 BC と内接円，傍接円の接点をそれぞれ K, K' とすると，BC の中点は KK' の中点に一致する．

証明
BK+CK = BC = BK'+CK' である．
また，直線 AB と内接円，今の傍接円の接点を P, P' とすると，BK+BK' = BP+BP' = PP' = CK+CK' .
よって，BK=CK', BK'=CK . //

補題2　H を A から BC に下ろした垂線の足，L を ∠ A の二等分線と BC の交点，M を BC の中点とすると，MH ⋅ ML = MK².
証明　△ABC の内心を I，今の傍接円の中心を J とすると，LI : LJ = IK : JK' = IP : JP' = AI : AJ.
よって，LK : LK' = HK : HK' = m : n.
L は KK' を m : n で内分する点，H は KK' を m : n で外分する点．
補題1より，M は KK' の中点なので，
(MK-ML) : (MK+ML) = (MH-MK) : (MH+MK).
これより結論がしたがう．//