ヒルベルト『幾何学基礎論』ちくま学芸文庫 (2005)

結合の公理
(I.1) 相異なる2点 A, B に対し，A, B を結ぶ直線が存在する．
(Def) 直線 l が相異なる2点 A, B を結ぶとき，「l が A を含む」「l が B を含む」という．
(I.2) 相異なる2点 A, B に対し，A, B を含む直線はたかだか一つである．
(I.3a) 直線は2点を含む．
(I.3b) 1直線に含まれない3点が存在する．
(I.4a) 1直線に含まれない3点 A, B, C に対し，A, B, C を結ぶ平面が存在する．
(Def) 平面 π が相異なる3点 A, B, C を結ぶとき，「π が A を含む」などという．
(I.4b) 平面上に点が存在する．
(I.5) 1直線に含まれない3点 A, B, C に対し，A, B, C を含む平面はたかだか一つである．
(I.6) 平面 π に含まれる相異なる2点 A, B を結ぶ直線に含まれる点は，平面 π に含まれる．
(I.7) 平面 π , π' に含まれる点が存在するとき， π , π' に含まれる点がもう一つ存在する．
(I.8) 1平面に含まれない4点が存在する．

順序の公理
(II.1a) 点 A が2点 B, C の間にあるならば，A, B, C は1直線に含まれる相異なる3点である．
(II.1b) 点 A が2点 B, C の間にあるならば，A は C, B の間にある．
(II.2) 相異なる2点 A, B に対し，A, B を結ぶ直線に含まれる点 C が存在し，B は A, C の間にある．
(II.3) 点 A が2点 B, C の間にあるならば，B は C, A の間にない．
(II.4) (Pasch の公理）1直線上にない3点 A, B, C とこれらを含まない直線 l に対し，l が A, B の間にある点を含むならば，l は B, C の間にある点を含むか，l は C, A の間にある点を含む．

• 「平面は1直線上にない3点を含む」は定理．