ディンキンの補題 - yoshitake-hのブログ

ディンキンの補題　標数0の体 $k$ 上の有限次元ベクトル空間 $V$ ，部分リー代数 $L\subset \mathfrak{gl}(V)$ とそのイデアル $K$ ，線型写像 $\lambda :K\to k$
に対し， $W=\{ v\in V\mid (y-\lambda (y) )v=0\; (y\in K) \}$ とおくと， $L(W)\subset W.$

証明
(1) $w\in W,\; x\in L,\; y\in K$ に対し，
$(y-\lambda (y) ) xw = [y,\,x]w+x (y-\lambda (y) )w = \lambda ([y,\,x])w.$
よって $\lambda ([y,\,x]) =0$ が言えれば $x(W)\subset W$ が言える．

(2) $W_i = \langle w,\,xw,\,\dots,\,x^{i-1}w\rangle$ とおく．
$(y-\lambda (y) ) x^iw = [y,\,x] x^{i-1} w +x (y-\lambda (y) )x^{i-1}w$ を用いると，帰納法により，
$\forall y\in K;\quad y(W_i)\subset W_i,\quad (y-\lambda (y) )(W_i)\subset W_{i-1}.$

(3) $W_{n-1}\subsetneq W_n=W_{n+1}$ となる $n$ が存在する．
このとき， $\dim W_i =i\quad (i\le n),\quad x(W_n)\subset W_n.$

(4) $([y,\,x]-\lambda ([y,\,x]))(W_i)\subset W_{i-1}$ より，
$\mathrm{tr}([y,\,x]|W_n) -n \lambda ([y,\,x])=0.$
$\mathrm{tr}([y,\,x]|W_n)=0$ より， $\lambda ([y,\,x])=0.$ 　証明終．