カルタン部分代数 - yoshitake-hのブログ

補題　べき零リー代数の表現 $\rho:\mathfrak{n}\to \mathfrak{gl} (V)$ と $x\in \mathfrak{n}$ に対し，固有値 $\lambda$ に対する $\rho (x)$ の広義固有空間は $\mathfrak{n}$ 部分加群である．

証明
$(\rho (x)-\lambda )\rho(y) = \rho ( (\mathrm{ad} x)y)+ \rho(y)(\rho (x)-\lambda ),$
$(\rho (x)-\lambda )^n\rho(y) = \sum_{j=0}^n} \binom{n}{j} \rho ( (\mathrm{ad} x)^jy) (\rho (x)-\lambda )^{n-j}$
より． //

定理　複素べき零リー代数の有限次元表現 $\rho:\mathfrak{n}\to \mathfrak{gl} (V)$ に対し， $R\subset (\mathfrak{n}/[\mathfrak{n},\,\mathfrak{n}])^*$ が存在して，
$V = \bigoplus_{\alpha \in R} V_\alpha,\quad V_\alpha = \{ v\in V\mid \forall x\in \mathfrak{n},\,\exists k;\; (\rho (x)-\alpha (x)1)^kv=0 \}.$

証明
$V$ が直既約の場合に示せばよい．
このとき任意の $x\in \mathfrak{n}$ に対し $\lambda (x)\in \mathbb{C}$ が存在して， $V$ は固有値 $\lambda (x)$ に対する $\rho (x)$ の広義固有空間になる．
リーの定理より， $V$ の1次元部分 $\mathfrak{n}$ 加群が存在する．
このことから $\lambda \in (\mathfrak{n}/[\mathfrak{n},\,\mathfrak{n}])^*$ が言える． //

複素リー代数 $\mathfrak{g}$ のべき零部分代数 $\mathfrak{h}$ に対し，随伴表現 $\mathrm{ad}:\mathfrak{h} \to \mathfrak{gl} (\mathfrak{g})$ による分解
$\mathfrak{g} = \bigoplus_{\alpha \in R} \mathfrak{g}_\alpha$
を考える．
定義　 $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{h}$ が成り立つとき， $\mathfrak{h}$ を カルタン部分代数 という．

$\mathfrak{g}_0=\mathfrak{h}$ は
$[\mathfrak{h},\,x]\in \mathfrak{h}\; \Longrightarrow x\in \mathfrak{h}$
に同値である．