リーの定理 - yoshitake-hのブログ

リーの定理　複素可解リー代数の有限次元表現は1次元部分表現をもつ．

証明
(1) $\rho:\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl} (V)$ を複素可解リー代数の有限次元表現とする．
$L=\rho (\mathfrak{g})$ も可解．
$Lv_0\subset \mathbb{C} v_0$ となる $v_0 \in V,\,v_0\ne 0$ の存在を示せばよい．
$L$ の次元に関する帰納法で示す．

(2) $L/[L,\,L]$ は可換． $L/[L,\,L]\ne 0$ としてよい．
全射線型写像 $L/[L,\,L]\to \mathbb{C}$ はリー代数の準同型．
$K$ を全射 $L\to L/[L,\,L]\to \mathbb{C}$ の核とすると， $K$ は可解で， $L$ の余次元1のイデアル．

(3) 帰納法の仮定より， $Kv_1\subset \mathbb{C} v_1$ となる $v_1 \in V,\,v_1\ne 0$ が存在する．
これに対し，線型写像 $\lambda :K\to \mathbb{C}$ が存在して，
$yv_1=\lambda (y)v_1\; (y \in K).$
$W=\{ v\in V\mid (y-\lambda (y) )v=0\; (y\in K) \}$ とおくと， $v_1\in W,\; W\ne 0.$

(4) $x\in L,\; x\not\in K$ を固定すると， $L=K+\mathbb{C}x.$
ディンキンの補題より， $x(W)\subset W.$
よって $x$ の固有ベクトル $v_0\in W$ が存在する．
したがって $Lv_0\subset \mathbb{C}v_0$ が言える．証明終．