固有値問題 における固有空間の基底と固有値は， 次に固有値問題 を考える． とおくと， に対する を Legendre 陪関数 という．これは次から従う． 証明 に対する帰納法． に注意． よって帰納法の仮定より， 証明終．

に対し， が正規直交基底なので， とおくと， よって ラプラシアンは平行移動で不変なので， とおくと， が特異点ではなくなったので Maclaurin 展開して とおく． は 次多項式．これを Legendre 多項式 という． とすると， より， より，

負の運動エネルギーと束縛状態．水素原子．球面調和関数．