Legendre 陪関数 - yoshitake-hのブログ

固有値問題
${\partial_\varphi}^2f=\lambda f,\quad f(\varphi+2\pi)=f(\varphi)$
における固有空間の基底と固有値は，
$f(\varphi)=\mathrm{e}^{im\varphi},\; \lambda =-m^2\; (m\in \mathbb{Z}).$

次に固有値問題
$\partial ((1-z^2)\partial f)- \frac{m^2}{1-z^2} f = \lambda f,\quad \partial = \partial_z$
を考える．

$\partial ((1-z^2)\partial P) = \lambda P,\quad P^m = (1-z^2)^{m/2} \partial^m P\quad (m\ge 0)$
とおくと，
$\partial ((1-z^2)\partial P^m)-\frac{m^2}{1-z^2}P^m = \lambda P^m.$

$P=P_l,\; \lambda = -l(l+1)$ に対する $P^m=P_l^m$ を Legendre 陪関数 という．

これは次から従う．

$[\partial \circ (1-z^2)\partial,\; (1-z^2)^{m/2} \partial^m ] = \frac{m^2}{1-z^2}(1-z^2)^{m/2} \partial^m.$

証明
$m$ に対する帰納法．
$(1-z^2)^{(m+1)/2} \partial^{m+1} = (1-z^2)^{1/2} \circ (1-z^2)^{m/2}\partial^m \circ \partial$ に注意．
$[\partial \circ (1-z^2)\partial,\; (1-z^2)^{1/2} ] = -2z(1-z^2)^{1/2}\partial - (1-z^2)^{1/2} +z^2 (1-z^2)^{-1/2} ,$
$[\partial \circ (1-z^2)\partial,\; \partial ] = 2z\partial^2 + 2\partial.$
$-2z(1-z^2)^{1/2} \partial \circ (1-z^2)^{m/2} \partial^m \circ \partial + (1-z^2)^{1/2} \circ (1-z^2)^{m/2} \partial^m \circ 2z\partial^2$
$= -2z(1-z^2)^{1/2} (-mz)(1-z^2)^{m/2-1}\partial^m \circ \partial$
$+(1-z^2)^{1/2} \circ (1-z^2)^{m/2} (2m)\partial^{m-1} \circ \partial^2$
$= 2m(1-z^2)^{(m-1)/2}\partial^{m+1}.$
$( - (1-z^2)^{1/2} +z^2 (1-z^2)^{-1/2} ) \circ (1-z^2)^{m/2}\partial^m \circ \partial$
$+ (1-z^2)^{1/2} \circ (1-z^2)^{m/2}\partial^m \circ 2\partial$
$= (1-z^2)^{(m-1)/2}\partial^{m+1}.$
よって帰納法の仮定より，
$[\partial \circ (1-z^2)\partial,\; (1-z^2)^{(m+1)/2} \partial^{m+1} ] = (m^2+2m+1) (1-z^2)^{(m-1)/2} \partial^{m+1}.$ 証明終．