台形公式 - yoshitake-hのブログ

定理
開区間 $(a,\,b)$ で2回微分可能な関数 $f(x)$ で， $f(x),\;f'(x)$ が $[a,\,b]$ に連続に拡張できるものに対し， $\xi\in (a,\,b)$ が存在して，
$\int_a^b f(x)dx-\frac{f(a)+f(b)}2(b-a)=-\frac{f''(\xi)}{12}(b-a)^3.$

証明
$F(x)=\int_a^x f(t)dt-\frac{f(a)+f(x)}2(x-a)+K(x-a)^3$
とおくと，
$F(a)=0,$
$F'(x)=f(x)-\frac{f'(x)}2(x-a)-\frac{f(a)+f(x)}2+3K(x-a)^2.$
よって
$F'(a)=0,$
$F''(x)=(-\frac{f''(x)}2+6K)(x-a).$

$F(b)=0$ となるように $K$ を取ると， $\eta\in (a,\,b)$ が存在して $F'(\eta)=0.$
よって $\xi\in (a,\,\eta)$ が存在して， $F''(\xi)=0.$
$\therefore \quad K=\frac{f''(\xi)}{12}.$ //

定理
開区間 $(a,\,b)$ で2回微分可能な関数 $f(x)$ で， $f(x),\;f'(x)$ が $[a,\,b]$ に連続に拡張できるものに対し，
$|f''(x)|\le M\;(x\in (a,\,b) )$ ならば，
$\left|\int_a^bf(x)dx-\frac{b-a}n\left(\frac{f(a)}2+\sum_{k=1}^{n-1}f(a+\frac{k}n(b-a) )+\frac{f(b)}2\right)\right|\\ \le\frac{M}{12n^2}(b-a)^3.$

$f(x)=\log x,\;a=1,\;b=2$ に適用すると，
$\left|(2\log 2-1)-\frac{1}n\left(\sum_{k=1}^{n-1}\log(1+\frac{k}n )+\frac{\log 2}2\right)\right|\le\frac{1}{12n^2}.$
$\therefore\quad\left|\log\left( \frac{e^n}{4^n}\,\frac{ (n+1)(n+2)\cdots (2n-1) }{n^{n-1}}\sqrt{2}\right)\right|\le\frac{1}{12n}.$
$(n+1)(n+2)\cdots (2n-1)=\frac{(2n)!}{n!}\,\frac{1}{2n}=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\cdot 2^n\,\frac{1}{2n}.$
したがって，

$1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\sim \sqrt{2}\left(\frac{2n}e\right)^n.$