Newton 力学から Lagrange 力学へ - yoshitake-hのブログ

粒子の位置を直交座標系であらわしたものを $(x^1,\,x^2,\,x^3)$ とする．
力 $(F_1,\,F_2,\,F_3)$ を受ける質量 $m$ の粒子は Newton の運動方程式
$\frac{d}{dt} m\dot{x}^i = F_i,\quad \frac{dx^i}{dt} = \dot{x}^i$
にしたがう．

これを一般の座標系 $q^a\; (a=1,\,2,\,3)$ であらわすことを考える．
$\frac{dx^i}{dt} = \sum_{a=1}^3 \frac{\partial x^i}{\partial q^a} \frac{dq^a}{dt}$
より，
$\dot{x}^i = \sum_{a=1}^3 \frac{\partial x^i}{\partial q^a}(q) \dot{q}^a.$
よって
$\frac{\partial \dot{x}^i}{\partial q^b} = \sum_{a=1}^3 \frac{\partial^2 x^i}{\partial q^b \partial q^a}\dot{q}^a = \frac{d}{dt} \frac{\partial x^i}{\partial q^b},\quad \frac{\partial \dot{x}^i}{\partial \dot{q}^a} = \frac{\partial x^i}{\partial q^a}.$

空間内の有向曲線 $C$ 上を移動するとき粒子が受ける仕事
$\int_C\mathit{\Phi}\quad (\mathit{\Phi} =\sum_{i=1}^3 F_idx^i)$
は座標系の取り方によらない．
微分形式 $\mathit{\Phi}$ を $q^a$ で書くと，
$\mathit{\Phi}=\sum_{a=1}^3 \mathit{\Phi}_adq^a,\quad \mathit{\Phi}_a=\sum_{i=1}^3 F_i \frac{\partial x^i}{\partial q^a}.$
運動方程式は
$\sum_{i=1}^3 \left( \frac{d}{dt} m\dot{x}^i\right)\frac{\partial x^i}{\partial q^a} = \mathit{\Phi}_a$
となる．左辺を書き直すと，
$\sum_{i=1}^3 \left( \frac{d}{dt} m\dot{x}^i\right)\frac{\partial x^i}{\partial q^a} = \sum_{i=1}^3 \left( \frac{d}{dt} m\dot{x}^i\frac{\partial x^i}{\partial q^a} - m\dot{x}^i\frac{d}{dt} \frac{\partial x^i}{\partial q^a}\right)$
$=\sum_{i=1}^3 \left( \frac{d}{dt} m\dot{x}^i\frac{\partial \dot{x}^i}{\partial \dot{q}^a} - m\dot{x}^i\frac{\partial \dot{x}^i}{\partial q^a}\right)$
$=\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^a}-\frac{\partial T}{\partial q^a},\quad T=\frac12 m\sum_{i=1}^3(\dot{x}^i)^2.$
一般の座標系による運動方程式は，
$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^a}-\frac{\partial T}{\partial q^a} = \mathit{\Phi}_a$
となる．
ポテンシャル $V(q,\,t)$ によって
$\mathit{\Phi}_a=-\frac{\partial V}{\partial q^a}$
と書ける場合，仕事は有向曲線の端点のみに依存する．
$L(q,\,\dot{q},\,t)=T-V$ とおくと，運動方程式は
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a}-\frac{\partial L}{\partial q^a} = 0.$