A natural construction for the real numbers

http://jp.arxiv.org/abs/math/0301015

• 写像 で が有限であるものを slope とよぶ．
• slope が同値であるとは， が有限であることとする．
• このとき，実数を slope の同値類と定義することができる．
  • 整数の掛算を定義する前に実数が定義できるというところがおもしろい．
  • 同値類で定義するということは，実数を有理数の Cauchy 列の同値類で定義する方法と似ている．
  • Cauchy 列とその同値類の定義は，自然数を元とする集合の有限性として定式化できる．

• 整数 n に対し，n 倍写像は slope．
• slope 全体の集合はアーベル群をなし，同値類の集合にアーベル群の構造が誘導される．
• 自然数 n の逆数に対応する slope は，自然数 m に nx ≥ m となる最小の自然数 x を対応させる．