Schläfli の積分表示と Rodrigues の公式

0の近傍に値をとる複素変数 $\zeta$ に対し， $\eta = ( 1-2z\zeta +\zeta^2 )^{1/2}$ として $\zeta=0$ のとき $\eta=1$ となる枝をとると，
$P_l(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint \frac{d\zeta}{\eta \zeta^{l+1} }.$
2次曲線 $\eta^2=1-2z\zeta +\zeta^2$ と $(\zeta,\,\eta)=(0, 1)$ を通る直線族 $\eta = 1-t\zeta$ の (0, 1) 以外の交点は，
$(\zeta,\,\eta) = (\frac{2(t-z)}{t^2-1} ,\, 1-\frac{2t(t-z)}{t^2-1}).$
積分する変数を $t$ に置換すると，
$P_l(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint \left( \frac{t^2-1}{2} \right)^l \frac{dt}{(t-z)^{l+1} } = \frac{1}{l!} \partial^l \left( \frac{z^2-1}{2} \right)^l.$

この公式により，Legendre 陪関数の定義を $-l\le m<0$ にも拡張できる．
$P_l^m(z) = (1-z^2)^{m/2} \partial^{m+l} \frac{1}{l!} \left( \frac{z^2-1}{2} \right)^l,\quad |m|\le l.$